Экзаменационная работа по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
У нас на сайте представлено огромное количество информации, которая сможет помочь Вам в написании необходимой учебной работы.
Но если вдруг:
Вам нужна качественная учебная работа (контрольная, реферат, курсовая, дипломная, отчет по практике, перевод, эссе, РГР, ВКР, диссертация, шпоры...) с проверкой на плагиат (с высоким % оригинальности) выполненная в самые короткие сроки, с гарантией и бесплатными доработками до самой сдачи/защиты - ОБРАЩАЙТЕСЬ!
Экзаменационная работа
по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Ф.И.О .…………………………………………………………………….
Дата проведения экзамена………………………………………..
Вариант № ……..
Таблица для записи ответов
На выполнение работы отводится 240 минут
Критерии оценивания работы.
«5» за 15 заданий;
«4» от 12 до 14 заданий;
«3» от 7 до 11 заданий;
«2» от 0 до 6 заданий.
Решение заданий.
1. Вычислить:
Решение. = - ∙3 + 5= -1+5=4. Ответ : 4
2. Вычислить: 25-2 ∙ 510 : 1252
Решение. 25-2 ∙ 510 : 1252 =(52)-2 ∙ 510 :(53) 2= 5-4∙ 510 : 56 = 5-4 +10 – 6 =
= 50 = 1 Ответ : 1
(Используем свойства степеней: (am ) n = am n ; am ∙ an = am+n ; am : an =am-n)
3. Вычислить:
Решение. = 3, так как )3 = Ответ: 3.
4. Вычислить: а) 2sin 22o30' cos22o30' ; б) cos2 75o– sin2 75o
Решение. а). 2sin 22o30' cos22o30' = sin (2∙ 22o30') = sin 45o =
Ответ:
б). cos2 75o– sin2 75o = cos (2∙75o) = cos 150o= -
Ответ: -
(Использовались формулы двойного угла:
2sinα ∙ cosα = sin2α; cos2α –sin2α = cos 2α )
5. Решить уравнение: = 6
Решение. = 6, возведём обе части уравнения в квадрат (чтобы «избавиться» от квадратного корня);
2 = 62;
x – 2 = 36;
x = 36 +2;
x = 38.
Проверка при x = 38. = 6;
= 6;
6 = 6 (верно).
Ответ: 38.
6. Решить уравнение: 32х + 1 = 27.
Решение. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3;
32х + 1 = 33; если равны степени и равны их основания, то равны и показатели этих степеней. Значит,
2x + 1 = 3;
2x = 3 – 1;
2x = 2;
x = 1.
Ответ: 1.
7. Решить уравнение: log 23 x +3log 3 x – 4 = 0
Решение. ОДЗ (область допустимых значений): x > 0, так как выражения, записанные по знаком логарифма, должны быть положительными.
Введём новую переменную. Пусть log 3 x = y, тогда данное уравнение примет вид:
y2 + 3y – 4 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант D = или по теореме Виета:
у1+y2=-3 y1 = - 4,
у1∙y2= -4 y2 = 1.
Вернёмся к переменной x, выполним подстановку
1). log 3 x = y, log 3 x = -4, x = 3- 4 = 1:(34) = 1:81= ;
2). log 3 x = y, log 3 x = 1, x = 31 = 3.
Ответ:
8. Решить уравнение:
Решение. ;
cos x =
x = ± arccos +2πn, n Z;
x = ± +2πn, n Z;
Ответ: ± +2πn, n Z.
9. 2x+2 ≤ 645+x
Решение. Представим левую и правую часть неравенства в виде степеней с основанием 2. (Используем свойства :
= a-1; (am ) n = am n ; am ∙ an = am+n ; am : an =am-n )
2-(2x + 2) ≤ 26 (5 + x); так как основание степени больше единицы, то показательная функция y = 2t является возрастающей, следовательно знак неравенства при переходе от показательного неравенства к алгебраическому сохраняется, значит:
-(2x + 2) ≤ 6(5 + x);
-2x – 2 ≤ 30 + 6x;
-2x – 6x ≤ 30 + 2;
-8x ≤ 32; (делим обе части неравенство на отрицательное число (-8), при этом знак неравенства меняется на противоположный);
x ≥ -4.
Ответ. [-4; + ∞).
10. log0,5(2x - 3) < log0,5(6– x)
Решение. Основание логарифма равно 0,5, значит логарифмическая функция y = log0,5t убывающей. Значит, при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому знак неравенства меняется на противоположный. Учитываем ОДЗ : выражения, записанные под знаком логарифма, должны быть положительными. Переходим к системе неравенств:
Ответ: (3; 6).
11. Найти производную функции f(x) = x3 +3x2 -7 x +24 в точке с абсциссой x0 = 2.
Решение. f ́(x) = (x3 +3x2 -7 x +24)́ = 3x2 + 6x – 7.
f ́(x0) = f ́(2) = 3∙ 22 + 6∙ 2 – 7 = 3∙4 + 12 – 7 = 17.
Ответ: 17.
12. Найдите точку минимума функции: f(x) = x3 - 15x2 +19.
Решение.1) Найдём производную данной функции
f ́(x) = (x3 - 15x2 +19)́ = 3x2 – 30x;
2). Найдём критические точки функции
f ́(x) = 0, если 3x2 – 30x = 0;
3x(x – 10) = 0 ⇒ x = 0 или x = 10;
f ́(x) + - +
3). -----------------------------*------------------------*----------------------àx
f (x) ↗ 0 ↘ 10 ↗
max min
Ответ: xmin =10
13. Вычислить определённый интеграл:
Решение. Будем использовать формулу Ньютона –Лейбница
ba = F(b) – F(a).
= (x4/4 – 2x2/2)I0-1 = (x4/4 –x2)I0-1 =(0 – 0) – (1/4 – 1)= - (-3/4) = 3/4.
Ответ:
14. Задача. Вычислить угол между векторами , если известны координаты точек: А (1; 3; 0), B (2; 3; -1) и C(1; 2; -1).
Решение.1). Найдём координаты векторов (Из координат конца вектора вычитаем координаты начала вектора)
= {1-1; 3 -2; 0-(-1)}= {0;1;1}
={2-1; 3-2;-1-(-1)}= {1;1;0}
2). Найдём скалярное произведение векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат
= 0∙1 + 1∙1 + 1∙0=0+1+0=1
3). Найдём модуль (длину) каждого вектора (модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат)
2 = 02+12+12= 0+1+1=2 =
2 = 12+12+02= 1+1+0=2 =
4)Найдём косинус угла между векторами (для этого надо скалярное произведение векторов разделить на произведение их модулей)
cos α= = =
5)Получили, что cosα= ⇒ α=600. Ответ: 600
15. Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а стороны основания 3 см и 4 см. Найти объём параллелепипеда.
Дано: ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед, АС1=13, AB=4, AC=3.
Найти объём V.
Решение.
V= abc = AB∙BC∙CC1
1).Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AC.
AC2= AB2 + BC2= 42 + 32 =16+9=25 ⇒AC =√25 =5
2).Из треугольника ACС1 по теореме Пифагора найдём CС1
(CС1)2= (AC1)2 - AC2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 ⇒CC1 =√144 =12
3).Найдём объём V= AB∙BC∙CC1 = 3∙4∙12 = 144 (куб.ед)
Ответ: 144
На выполнение работы отводится 240 минут
Критерии оценивания работы.
«5» за 15 заданий;
«4» от 12 до 14 заданий;
«3» от 7 до 11 заданий;
«2» от 0 до 6 заданий.