У нас на сайте представлено огромное количество информации, которая сможет помочь Вам в написании необходимой учебной работы. 

Но если вдруг:

Вам нужна качественная учебная работа (контрольная, реферат, курсовая, дипломная, отчет по практике, перевод, эссе, РГР, ВКР, диссертация, шпоры...) с проверкой на плагиат (с высоким % оригинальности) выполненная в самые короткие сроки, с гарантией и бесплатными доработками до самой сдачи/защиты - ОБРАЩАЙТЕСЬ!

Сторонами сферического треугольника являются отрезки сферических прямых , вершинами – их концы , углами – углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах

 равна , тогда площадь двуугольника с углом в один радиан будет равна . Отсюда искомая площадь равна

.

Если нам дан сферический треугольник , то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 2). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом

, два – с углом  и два – с углом . Треугольник  и диаметрально противоположный ему треугольник , равный треугольнику

, входят в три двуугольника, остальные точки сферы, не лежащие на сторонах двуугольников,  входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади

 всей сферы и учетверенной , то есть

.

Так как , то мы получаем

,

то есть . Так как величины  и  положительны, то величина  также положительна, откуда следует, что

, т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина  называется угловым избытком сферического треугольника. Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника

 Неевклидова геометрия Римана имеет много общего с обычной геометрией Евклида. Так, например, здесь также справедливы теоремы о сравнительной длине сторон треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности), о свойствах равнобедренного треугольника, о замечательных точках треугольника. Справедливы также и признаки равенства треугольников. Только наряду с "третьим признаком равенства треугольников" (два треугольника равны, если стороны одного соответственно равны сторонам другого) в неевклидовой геометрии Римана имеет место еще так называемый "четвертый признак равенства треугольников": два треугольника равны, если углы одного из них соответственно равны углам второго. Первый и второй признаки равенства треугольников доказываются так же, как и в случае евклидовой геометрии: с использованием "неевклидовых движений", роль которых играют повороты неевклидовой плоскости Римана вокруг точки и симметрии относительно прямой (см. Рис. 4).

Рис. 4

Третий признак равенства треугольников также может быть доказан с помощью обычного приема ‒ с использованием теорем о равнобедренном треугольнике, вывод которых не составляет труда (см. Рис. 5). Наконец, четвертый признак равенства треугольников получается из третьего с помощью принципа двойственности.

Рис. 5

Теоремы о точке пересечения биссектрис треугольника  и о точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника в их серединах, доказываются в точности так же, как в геометрии Евклида. Первая из этих точек является центром вписанной в треугольник

 окружности (см. Рис. 6, а), а вторая ‒ центром описанной окружности (см. Рис. 6, б).

Рис. 6

До сих пор мы больше говорили о тех теоремах неевклидовой геометрии Римана, которые аналогичны известным теоремам евклидовой геометрии. Для того чтобы дать представление о различии этих двух геометрий, остановимся на вопросе о площади многоугольника в неевклидовой геометрии Римана. Вспомним прежде всего, что в этой геометрии сумма углов треугольника всегда больше

. Отсюда можно вывести, что сумма углов n-угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше

. В самом деле, каждый n-угольник можно разбить на 

 треугольников непересекающимися диагоналями, это относится как к неевклидовой геометрии Римана, так и к обычной геометрии Евклида. Случай

 изображен на Рис. 7.

Рис. 7

При этом сумма углов n-угольника равна сумме всех углов всех  треугольников, отсюда и вытекает, что сумма углов n-угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше

.

Задача измерения площадей состоит в том, чтобы сопоставить каждому многоугольнику  некоторое число  ‒ площадь этого многоугольника ‒ с соблюдением следующих требований:

a)    положительность: для любого многоугольника  (содержащего внутренние точки) ;

b)   инвариантность: если многоугольники  и  равны, то ;

c)   аддитивность: если многоугольник  разбит на неперекрывающиеся части  и , то

d)   нормировка: для многоугольника , признанного "единичным", .

Такое аксиоматическое определение площади является осмысленным лишь в том случае, если действительно существует функция , сопоставляющая каждому многоугольнику

 число  с указаными свойствами, и притом такая функция имеется лишь одна. В неевклидовой геометрии Римана также существует теорема о том, что условия

 однозначно определяет  площадь. Впрочем, существование функции

 будет ясно из дальнейшего, так как мы укажем угловой избыток, удовлетворяющую условиям . Единственность же позволит утверждать, что указанная величина, угловой избыток как раз и является площадью, поскольку, кроме нее, не существует никакой другой функции, удовлетворяющей условиям

. Таким образом, единственность является важным элементом при построении теории площадей, и если мы опускаем здесь доказательство единственности, то не из-за его малой значимости, а лишь из-за нежелания перегружать статью.

Очень просто указать число, удовлетворяющее наиболее важным условиям  в качестве него можно взять угловой избыток в рассматриваемого n-угольника

, то есть превышение суммы его углов над ;

здесь  углы n-угольника, измеренные в радианной мере. В самом деле, поскольку равные многоугольники  и  имеют одинаковые углы, то и избытки их, очевидно, равны:

;

таким образом, свойство инвариантности выполнено.

В евклидовой геометрии аддитивность углового избытка никак не может быть использована для построения теории площадей: она является просто следствием того обидного с точки зрения наших настоящих интересов обстоятельства, что угловой избыток каждого многоугольника равен в евклидовой геометрии нулю. Однако в неевклидовой геометрии Римана угловой избыток положителен, то есть удовлетворяет условию

. Таким образом, для того чтобы получить величину, удовлетворяющую всем четырем условиям , надо лишь нормировать угловой избыток, умножив его на постоянный множитель пропорциональности

 с тем, чтобы соблюдалось и условие . При этом выбор числа 

 существенно зависит от выбора единицы измерения площадей.

Выберем эту единицу так, чтобы треугольник с тремя прямыми углами имел площадь, равную его угловому избытку, то есть равную

 , при этом площадь всей сферы будет равна .

Таким образом, радиус сферы принимается здесь за 1, а площадь всей неевклидовой плоскости Римана равна . При этом будем иметь

, то есть площадь каждого многоугольника будет равна его угловому избытку:

Геометрия Лобачевского

Геометрия Лобачевского не имеет столь простой и естественной интерпретации, как сферическая геометрия. Для геометрии Лобачевского известно несколько моделей.

В начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Бойяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в честь его имени.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского. Она так же нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел». Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

Теорема 1[1]. Пусть  выпуклый четырехугольник на плоскости Лобачевского (см. Рис. 8). Тогда следующие два свойства эквивалентны:

Заметим, что каждое из свойств (i) и (ii) равносильно тому, что четырехугольник является трапецией с основаниями и . Вычитая из первого равенства второе, получим, что справедлива следующая лемма.

Лемма 1[1]. Для трапеции  справедливо соотношение:

.

В силу формулы Гаусса-Бонне [1] площади треугольников  и  находятся по формулам:

;

.

Учитывая утверждение леммы и равенство вертикальных углов , получим, что .

Отсюда непосредственно заключаем, что имеют место равенства площадей . Обозначим через  площадь гиперболического треугольника с длинами сторон

. Переписывая полученные два равенства в терминах длин сторон, установим, что справедливо следствие.

Следствие 1.1. Для площадей треугольников с соответствующими сторонами выполнены равенства:

Согласно работе [3] справедлива следующая формула для площади  гиперболического треугольника со сторонами :

Положим  и . Подставляя равенство в уравнение (3), получим, что система уравнений (2) эквивалентна следующей

Предложение 1. Длины сторон и диагонали трапеции связаны соотношениями

Из данной системы уравнений находятся выражения для длин диагоналей трапеции

Сформулированное предложение потребуется для доказательства теоремы о площади трапеции.

Теорема 2[5]. Площадь  гиперболической трапеции  со сторонами  находится из соотношения

Евклидов вариант формулы, выражающий квадрат площади трапеции через ее стороны находится элементарными вычислениями из геометрических соображений и имеет вид:

.

 Отметим также, что  при достаточно малых величинах .

Доказательство. Рассмотрим трапецию , изображенную на Рис. 1. Для вычисления ее площади воспользуемся формулой:

.

Рассмотрим величину  . Учитывая равенство (1) из определения трапеции, получим, что

 и .

Откуда имеем

Выразим величины  через длины сторон Воспользуемся теоремой косинусов для гиперболического треугольника

:

.

Тогда для  имеем

Для определения величины  через длины сторон  подставим выражение  в формулу (9) и, применив к ней соотношение (7), получим

Аналогично,

Вычислим выражение  используя приведенные выше формулы. После извлечения положительного квадратного корня, для величины

 имеем следующее выражение

Подставляя в (8) результаты (10), (11), (12), после упрощения, получим

Далее,

Поделив (13) на (14), имеем утверждение теоремы

.

Что и требовалось доказать.

Площадь многоугольников

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника  через длины его сторон , которая может быть представлена в следующем виде:

где  — полупериметр треугольника. Данная формула известна как формула Герона, названной так по имени Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в.н.э. Формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон, а для многоугольников с большим количеством сторон формулы такого типа не существует, так как площадь многоугольника может меняться при его изгибании с сохранением длин сторон. Площадь четырёхугольника, вообще говоря, не определяется через длины его сторон. Однако, это справедливо в некоторых частных случаях, например, когда четырёхугольник является вписанным, либо когда он представляет собой трапецию. В первом случае нам известна теорема Брахмагупты, а именно, площадь

 вписанного в окружность четырёхугольника со сторонами  и полупериметром

 — равна:

.

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона. Формулировку и доказательство данной теоремы можно найти в книге ([2], с. 90). Немецкий математик Карл Бретшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника. Классическая теорема Бретшнайдера [3] утверждает, что площадь

 евклидова четырехугольника со сторонами  и противолежащими углами  находится по формуле:

,

где  полупериметр четырехугольника ([2], с. 89).

Определение 3[4]. Выпуклый четырёхугольник ABCD называется трапецией, если для его внутренних углов справедливо соотношение:

.

 В этом случае стороны  и   называются основаниями трапеции , а  и  ‒ её боковыми сторонами,  ‒ соответствующие длины сторон трапеции,

 ‒ длины диагоналей  и . Всюду в дальнейшем будем предполагать, что . Сформулируем основную теорему.

Теорема 3[4]. Площадь  сферической трапеции  со сторонами  находится из соотношения:

Замечание 1.1. Площадь  евклидовой трапеции со сторонами  вычисляется по формуле:

 сферического четырехугольника со сторонами  углами  и полупериметром  находится по формуле:

где

Следствие 2.1. Площадь  вписанного сферического четырехугольника со сторонами  находится по формуле:

где

Следствие 2.2. Если сферический четырехугольник со сторонами вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь

 находится по формуле:

Следствие 2.3. Сферический четырехугольник со сторонами  имеет максимальную площадь  тогда и только тогда, когда он вписан в окружность.

Теорема 5[4]. Площадь  гиперболического четырехугольника со сторонами  углами  находится по формуле:

где  полупериметр.

Следствие 3.1. Площадь  вписанного гиперболического четырехугольника со сторонами  находится по формуле:

где

Следующее следствие выражает площадь описанного четырехугольника через стороны и четырехугольника со сторонами .

Следствие 3.2. Площадь  описанного гиперболического четырехугольника со сторонами  углами  находится по формуле:

Следствие 3.3. Если гиперболический четырёхугольник со сторонами  вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

Следствие 3.4. Гиперболический четырёхугольник со сторонами  имеет максимальную площадь  тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистанты.

Решение задач

Задача 2[7]. Докажите, что площадь  угольника неевклидовой геометрии Лобачевского пропорциональна разности между

 и суммой углов  угольника, в частности, площадь треугольника с углами

 равна , где коэффициент пропорциональности  зависит от выбора единицы измерения площадей.

Доказательство. Найти площадь многоугольника – это значит поставить в соответствие каждому многоугольнику

 число  площадь, которое удовлетворяет вышесказанным условиям . Разность между

, суммой углов  угольника неевклидовой геометрии суммой углов  угольника  неевклидовой геометрии Лобачевского называется угловым дефектом этого

 угольника.  Угловой дефект многоугольника, удовлетворяет первому условию. Покажем, что и второму условию он тоже удовлетворяет. Действительно, пусть

 угольник  ломанной   разбивается на  угольник  и   угольник . Докажем, что угловой дефект многоугольника

 равен сумме угловых дефектов многоугольников . Предположим, что ломаная

 состоит из  звеньев. Пусть еще для определенности вершина  ломаной  совпадает с вершиной многоугольника

, а вершина  лежит на его стороне. В таком случае

,

ибо сумма  вершин  и  и вершин  включает  вершин  и  лишних вершин, каждая из  внутренних вершин ломанной  и вершина

 входят по два раза в сумму  и ни одного раза – в выражение . Вершина  входит в сумму  два раза, а в выражение лишь один раз. Далее, сумма углов этих трех многоугольник:

,

Из того, что угловой дефект многоугольника обладает свойствами  вытекает, что он пропорционален площади, если угловой дефект «единичного многоугольника» равен  

, то угловой дефект любого многоугольника равен площади, деленной на .

Для любых трех углов  , сумма которых меньше , можно подобрать треугольник неевклидовой геометрии Лобачевского с углами этой величины. Таким образом, площадь

 угольника неевклидовой геометрии Лобачевского пропорциональна его угловому дефекту. Отсюда, в частности, видно, что сумма углов

 угольника малой площади близка к . Что и требовалось доказать.

Задача 3. Найти неевклидов треугольник  максимальной площади с двумя фиксированными сторонами

.

Решение. Будем считать, что вершина  совпадает с центром модели Пуанкаре. Зафиксируем сторону . Тогда вершина

 лежит на неевклидовой окружности  с центром в точке  и фиксированным радиусом. Так как центр окружности

 совпадает с центром модели Пуанкаре, эта окружность совпадает с евклидовой. По теореме о площади треугольника, треугольник

 имеет площадь, равную , где  симметрична точке  относительно абсолюта. Площадь треугольника

 будет максимальна тогда, когда угол  максимален, то есть, когда отрезок

 касается окружности. Что и требовалось доказать.

Заключение

В данной курсовой работе были изучены основные формулы площади неевклидовых многоугольников, где и как они используются. Основным направлением этого изучения являлась сферическая, гиперболическая геометрии.

Изучая теорию неевклидовой геометрии, я установила, что элементы некоторых фигур: углы, прямые, отрезки, многоугольники рассматриваются иначе, чем эти же фигуры на плоскости или в пространстве в евклидовой геометрии. Я узнала, что в геометрии сферы существует фигура, у которой менее трёх вершин – двуугольник. По-разному трактуются и знакомые нам теоремы. Применяются другие формулы для вычисления площади фигур.

Так как тема неевклидовой геометрии очень объемна, в работе была представлена лишь основная часть всех возможный понятий, формул, теорем, следствий и манипуляций. Изучение и описание которых заняло бы несравнимо большее время, чем дано одной человеческой жизни.

Список литературы

[1]             Соколова, Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. Ю. Соколова // Сиб. электрон, матем. изв. - 2012. - Т. 9. - С. 256- 260.

[2]             Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия / Я. П. Понарин. - М.: МЦНМО. 2004. - С. 312.

[3]             Bretschneider, C. A. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes / C. A. Bretschneider // Arch. Math. - 1842. - Bd. 2. - S. 225-261.

[4]             Байгонакова, Г. А. Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии / Г. А. Байгонакова // Автореферат. -2013. -Т. - С. 10-16.

[5]             Байгонакова, Г. А. Площадь трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, И - 19 августа, 2012 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. - С. 12-13.

[6]             Винберг, Э. Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики / Э. Б. Винберг - М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1988. Т. 29. - С. 1-146.

[7]             Яглом, И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования / И. М. Яглом - М.: Гос. изд. технико-теоритической литературы, 1956. - С. 154.