На проценты

Один процент – это одна сотая часть какой-либо величины или какого-то числа.

1% = 1/100 = 0,01

Т. е. 25% от х - это 25% × х = (25/100)×х = 0,25х = х/4

10% от 60 минут - это 0,1×60

Запомните!

Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.

В задачах на проценты очень важно понять, что принять за 100%!

Запомните!

За 100% принимается та величина, с которой сравниваем.

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1.

Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 60% — деньги, заработанные папой, а 40% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?

Решение:

Заработок каждого мы сравниваем с бюджетом семьи. Поэтому бюджет семьи, равный 75000 рублей принимаем за 100%. Найдем 60% и 40% от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 60% и 40% запишем в виде десятичных дробей:

75000 × 0,60 = 45000 (руб.) - заработал папа

75000 × 0,40 = 30000 (руб.) - заработала мама

Проверка:

45000 + 30000 = 75000

75000 = 75000

Ответ: 45000 руб. заработал папа, 30000 руб. заработала мама.

Задача 2.

После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 руб. Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение:

Первоначальная цена книги составляет 100%.

Поэтому 52 руб., т. е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены.

Рассуждать можно по-разному:

1)1%- это 52:130=0,4 руб., а 100% - это 0,4×100=40 руб.;

2)10% - это 52:13=4 руб., а 100% - это 4×10=40 руб.;

3)130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40 руб.

Более удобное рассуждение в этой задаче –это решать ее с помощью уравнения.

Пусть х-цена книги до повышения, тогда 0,3х- на столько цена повысилась,

и стала х+0,3х=1,3х ,что по условию 52руб.

уравнение:

1,3х=52

Х=40 (руб.)

Ответ: 40 руб. стоила книга до повышения цены.

Задача 3.

Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60% другого.

Решение:

Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи составить уравнение.

Пусть х - одно число (и это 100% в первом случае, когда мы сравниваем 40% с числом х).

Тогда (120-х) - другое число (и это тоже 100%, но в другом случае, когда мы сравниваем 60% со вторым числом)

По условию задачи, 40% одного равны 60% другого :

0,4х=0,6(120-х)

х=72

120-72=48

Ответ: 72 и 48.

Задача 4.

Циркуль дороже тетради на 70% и дороже ручки на 36% . На сколько процентов тетрадь дешевле ручки ?

Решение:

Что же принять за 100%?

Пусть х - стоимость тетради

y - стоимость ручки

z - стоимость циркуля

Сравниваем сначала циркуль и тетрадь. Т. к. сравниваем с тетрадью, то в данном случае, стоимость тетради 100%. Тогда стоимость циркуля равна х + 0,7х = 1,7х

Т. е. z = 1,7х

Сравниваем циркуль и ручку. Т. к. сравниваем с ручкой, то в данной ситуации, 100% - это стоимость ручки, т.е. y. Тогда стоимость циркуля равна y + 0,36y = 1,36y

Т. е. z = 1,36y

Таким образом, стоимость циркуля мы дважды выразили через разные величины. Следовательно мы можем приравнять выражения (т. к. речь идёт о стоимости одного и того же предмета - циркуля):

1,7х = 1,36y

x = 1,36y/1,7

x = 0,8y

Т. е. стоимость тетради составляет 80% стоимости ручки. Следовательно, тетрадь дешевле ручки на 100% - 80% =20%

Ответ: тетрадь дешевле ручки на 20%.

Запомните!

Если какую-то величину х увеличить на р%, то получаем:

х × (1 + р/100)

Если какую-то величину х уменьшить на р%, то получаем:

х × (1 - р/100)

Если какая-то величина дважды, например, увеличивалась на одно и то же количество процентов, то справедлива формула:

х × (1 + р/100)²

Задача 5.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть стоимость акций изначально (в воскресенье) - х

Тогда стоимость акций в понедельник - х × (1 + р/100)

Стоимость акций во вторник - (х × (1 + р/100)) × (1 - р/100) = х × (1 + р/100) × (1 - р/100)

С другой стороны, эта же стоимость акций (во вторник), по условию задачи, составляет х × (1 - 4/100)

Поэтому, приравняв два выражения для стоимости акций во вторник, можно написать:

х × (1 + р/100) × (1 - р/100) = х × (1 - 4/100)

Сократим выражение на х, т.к. х не может быть равно нулю.

(1 + р/100) × (1 - р/100) = 1 - 4/100

В левой части выражения разность квадратов. Поэтому запишем:

1 - (р/100)² = 1 - 4/100

(р/100)² = 4/100

р/100 = 2/10

р = 20%

Ответ: акции компании в понедельник подорожали на 20%.

Задача 6.

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Решение:

Пусть х - стоимость рубашки

y - стоимость куртки. И это 100%, т.к. сравниваем с курткой.

Тогда стоимость 4-х рубашек - 4х И, по условию задачи, эта стоимость составляет 0,92y (из 100% вычли 8%)

Запишем уравнение:

4х = 0,92y

x = 0,92y/4

x = 0,23y Т. е. стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Тогда стоимость пяти рубашек составит:

5x = 1,15y Т.е. 115% стоимости куртки.

Таким образом, пять рубашек дороже куртки на 115 - 100 = 15%

Ответ: на 15% пять рубашек дороже куртки.

Задача 7.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Решение:

Составим уравнение.

Цена холодильника уменьшалась два раза на одно и то же число процентов.

Сначала цена холодильника была равна 20000 руб.

По формуле для двукратного уменьшения величины на р% получим:

20000 × (1 - р/100)² = 15842 , где 15842 руб - это та цена, за которую холодильник был продан.

(1 - р/100)² = 15842/20000

(1 - р/100)² = 7921/10000 заметим, что 1 - р/100 > 0

1 - р/100 = 89/100

р/100 = 11/100

р = 11%

Ответ: на 11% каждый год уменьшалась цена холодильника.

Задача 8.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери - студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Пусть х - зарплата мужа

y - зарплата жены

z - стипендия дочери

Нам неизвестно каков конкретно (в рублях) доход семьи.

Запомните! (в задачах на работу таких случаев тоже достаточно)

Если неизвестно, сколько конкретно (рублей или других денежных единиц) составляет совокупный доход, то принимаем его за 1 (или 100%).

Т.е., в нашем случае, совокупный доход семьи х + y+ z =1

С другой стороны, по условию, если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.

Запишем это условие в виде уравнения: 2x + y + z = 1,67(x + y + z) Откуда 1,67? Это 100% + 67%, т. е. 1 + 0,67 = 1,67

Ещё известно, что если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Запишем это условие:

x + y + z/3 = 0,96(x + y + z)

Остаётся решить систему уравнений:

Следовательно, зарплата жены (y = 0,27) составляет 27% дохода семьи.

Ответ: 27% дохода семьи составляет зарплата жены.

Источник:

• Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика профильного уровня. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru