10 класс

Формулы приведения

(теорию см. в разделе 10 класс/тригонометрия/формулы приведения)

Рассмотрим примеры применения формул приведения.

Пример 1.

Упростить выражение: sin(x+17π)

Решение. Определим целое число периодов 2π (полных оборотов на единичной окружности), содержащихся в 17π.

17π = 8 * 2π + π

По формулам приведения:

sin(x+17π) = sin(x + 8 * 2π + π) = sin(x + π) = - sin x ( « - « т. к. находимся в 3-ей четверти)

Пример 2.

Вычислить: tg(-8π/3)

Решение. Угол -8π/3 лежит в промежутке от -3π до -2π. Поэтому можно сделать следующие преобразования:

tg(-8π/3)= tg(-8π/3+ 3π)= tg(π/3)= √3

Пример 3.

Найти: cos (π-α), если cos(π/2-α) = b и α∈(π; 3π/2).

Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α и cos(π/2 – α) = sin α

Ввиду основного тригонометрического тождества cos²α = 1 – sin²α = 1 – b²

При извлечении квадратного корня надо учесть, что α∈(π; 3π/2) (третья четверть). В таком случае будет выполнено неравенство cos⁡α<0.

Тогда cos⁡α= -√(1-b²2 ), и -cos⁡α= √(1-b²2 )

Ответ: √(1-b²2 )

Пример 4.

Упростите выражение: sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α)

Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α; sin(π/2 – α) = cos α; cos(3π/2 + α) = sin α; sin(2π – α) = -sin α

Получаем sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α) = cos α *(-cos α) + sin α * (-sin α) = - cos²α - sin²α = - (cos²α + sin²α) = - 1

Пример 5.

Вычислить: sin⁡(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°)

Решение. В каждой тригонометрической функции исключим периоды

sin⁡(-7π/3) = - sin(2π+ π/3) = - sin π/3 = - √3/2

cos(- 19π/6) = cos(2π+π+ π/6) = cos(π+π/6) = - cos π/6 = - √3/2

tg390°=tg(2*180°+30°)= tg30°= √3/3

ctg(-300°)= -ctg(180°+90°+30°)= -ctg(90°+30°)= tg30°= √3/3

Таким образом, имеем: sin⁡(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°) = ((-√3)*(-√3)*√3*√3)/(2*2*3*3) = 1/4 = 0,25

Повторение формул приведения.

Варианты применения формул смотрите выше, а также в разделе 10 класс/ тригонометрия/ формулы приведения и в видеоуроке по ссылке: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/formuly-privedeniya .

Тест для самопроверки по формулам приведения

Задание 1

Вопрос:

Упростите выражение: (cos⁡(3π/2 + α)tg(-α))/cos⁡(π+α)

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) tg²α 2) 1 3) -1/sinα 4) -tg α

Задание 2

Вопрос:

Отметьте равенства, которые являются формулами приведения для тангенса и котангенса.

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) tg(π/2 - α) = - ctg α 2) ctg(π/2 - α) = tg α

3) ctg(π/2 + α) = - tg α 4) tg(π/2 + α) = - ctg α

Задание 3

Вопрос:

Вычислите : ctg(-315°)

Запишите число:________________

Задание 4

Вопрос:

Найдите значение выражения : 8sin(-30°)cos(60°)tg(-240°)ctg210°

Запишите число:________________

Задание 5

Вопрос:

Вычислите: tg(5π/6)

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) - √3 2) √3 3) -√3/3 4) √3/3

Задание 6

Вопрос:

Вычислите: sin135°

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) -1 2) 1 3) -√2/2 4) √2/2

Задание 7

Вопрос:

Вычислите: cos(-570°)

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) -√3/2 2) √3/2 3) -1/2 4) 1/2

Задание 8

Вопрос:

Отметьте равенства, которые являются формулами приведения для синуса.

Выберите несколько из 6 вариантов ответа:

1) sin(π/2 - α) = - cos α 2) sin(π - α) = sin α 3) sin(3π/2 + α) = cos α

4) sin(3π/2 - α) = - cos α 5) sin(π + α) = - sin α 6) sin(π/2 + α) = cos α

Задание 9

Вопрос:

Отметьте равенства, которые являются формулами приведения для косинуса.

Выберите несколько из 6 вариантов ответа:

1) cos(π/2 + α) = sin α 2) cos(π/2 - α) = sin α 3) cos(3π/2 - α) = - sin α

4) cos(π + α) = cos α 5) cos(π - α) = - sin α 6) cos(3π/2 + α) = sin α

Задание 10

Вопрос:

Упростите выражение : sin(π + α)cos(π/2 - α) - cos²(- α)

Запишите число:__________________

Самостоятельная работа по вариантам

Вариант 1 (базовый уровень)

1. Вычислите:

sin⁡(17π/6) + cos240°

2. Упростите выражение: (tg(π+α)sin⁡(π/2 - α))/cos⁡(3π/2 + α)

3. Докажите тождество: cos⁡(2π - α)/sin⁡(π/2 + α) =(tg40° + tg5°)/(1 - tg40°tg5°)⁡

4. Упростите выражение: (sin⁡(x-π)cos⁡(x-2π)sin⁡(2π-x))/(sin⁡(π/2 - x)ctg(π-x)ctg(3π/2 + x) )

5. Вычислите: sin2α, если tg(3π/2 + α)=1/2

Вариант 2 (базовый уровень)

1. Вычислите:

cos (10π/3) + sin150°

2. Упростите выражение: (tg(π/2 - α)sin⁡(2π-α))/cos⁡(π+α)

3. Докажите тождество: cos⁡(3π/2 + α)/sin⁡(π-α) =(tg55°-tg10°)/(1+tg55°tg10°)⁡

4. Упростите выражение: (sin⁡(α+π)cos⁡(3π/2-α)tg⁡(α-π/2))/(cos⁡(π/2 + α)cos(3π/2 + α)tg(π+α) )

5. Вычислите: sin4α, если tg(π+α)=-3

Вариант 3 (профиль).

1. Вычислите: sin⁡(-11π/6)cos⁡(-13π/6)tg(-5π/4)ctg(-5π/3)

2. Упростите выражение: (cos⁡(π-α)cos⁡(3π/2 - β))/tg(π+α-β) +(cos⁡(π/2 + α)cos⁡(2π-β))/tg(π+α-β)

3. Докажите тождество: (1+cos⁡(2α+630°)+sin⁡(2α+810°))/(1-cos⁡(2α-630°)+sin⁡(2α+630°) )=ctgα

4. Упростите выражение: (sin²(α-π)-4cos²(3π/2 - α/2))/(cos²(α - 5π/2) + 4cos²(π/2 + α/2) - 4)

5. Вычислите: cos⁡(π/2-x), если tg(x+π)=b и x∈[π;3π/2

Сумма и разность синусов/ косинусов.

I. Прочитайте материалы на сайте в разделе тригонометрия/сумма и разность синусов/ косинусов, посмотрите видеофильм, размещённый в конце указанного раздела.

Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a.

I. Прочитайте теорию на сайте в разделе 10 класс / тригонометрия / тригонометрические уравнения.

Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a.

Тригонометрические уравнения. Уравнение sin x = a.

I. Посмотрите видео урок по ссылке: https://videouroki.net/video/33-uravnenie-sinx-a.html

Тригонометрические уравнения. Уравнение sin x = a.

Тригонометрические уравнения. Уравнение tg x = a.

I. Посмотрите видео урок по ссылке: https://videouroki.net/video/34-uravnenie-tgx-a.html