Задачи недели

1. К числу 23 припиши слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

2. Из деревни в город, расстояние между которыми 36 км, со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист. Собака, сопровождающая велосипедиста, постоянно забегала вперёд, вправо, влево от дороги и опять возвращалась к хозяину. Какое расстояние пробежала собака к моменту въезда велосипедиста в город, если она всё время бегала со скоростью 15 км/ч.?

3. По кругу написано 2016 натуральных чисел. Докажите, что не найдутся никаких два соседних числа, сумма которых чётная.

4. На окраску куба с размерами 2 х 2 х 2 требуется 3 грамма краски. Сколько краски потребуется на покраску куба размерами

4 х 4 х 4 ?

5. Миша задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна разности первых двух?

6. В баке втрое больше воды, чем в ведре. В ведре вчетверо больше воды, чем в бидоне. В бидоне впятеро больше воды, чем в кружке. В кружке вдвое больше воды, чем в чашке. В чашке вшестеро больше воды, чем в ложке. Сколько ложек воды в баке?

7. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. после каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха - уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 98 рублей 1 копейка?

8. Прямоугольник разделён двумя отрезками на 4 прямоугольника, площади трёх из которых 3 кв.см, 6 кв.см, 9 кв.см. Найдите площадь прямоугольника (исходного).

9. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,3 всей книги и ещё 10 страниц, во второй день - 0,2 остатка и ещё 60 страниц. В третий день - 0,8 остатка и последние 20 страниц. Сколько страниц в книге?

1. Один из углов квадратного листа бумаги загнули так, что вершина квадрата попала в его центр. Получился пятиугольник, площадь которого на 1 кв. см меньше площади квадрата. Чему равна площадь квадрата?

2. Сколько минут проходит от середины второй четверти часа до середины его четвёртой четверти?

3. Шесть бывших выпускников школы теперь учатся на разных факультетах: математическом, физическом, химическом, биологическом, историческом и литературном. Их фамилии Антонов, Борисов, Воронин, Гордеев, Данилов и Ефремов. Во время игры в перетягивание каната в каждом раунде участников одной команды объявляли по фамилии, а участников другой - по их будущим специальностям. Всего было 4 раунда. В первом раунде Антонов, Борисов и Воронин боролись против математика, физика и химика. Во втором раунде Гордеев, Борисов и Антонов боролись против математика, химика и биолога. В третьем раунде Гордеев, Данилов и Ефремов боролись против биолога, историка и литератора. В четвёртом раунде Ефремов и Борисов боролись против математика и историка. Кто на каком факультете учится?

5. При проверке влажности зерна она оказалась равной 16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало легче на 20 кг. Найдите влажность зерна после просушки ( с точностью до 0,1%).

1. Какое наименьшее натуральное число надо вычесть из 1000, чтобы получить число, все цифры которого различны?

(2 балла)

2. В декабре черепашка проспала ровно три недели. Сколько минут в декабре она бодрствовала? (3 балла)

3. График отпусков составляется на четыре года. Отпуск должен планироваться только на четыре месяца, с мая по август. Продолжительность отпуска - один месяц. В течение каждого месяца в отпуск может пойти только один человек. За четыре года каждый из четырёх сотрудников должен получить отпуск по одному разу в каждый из этих месяцев. Должны быть соблюдены и следующие условия: в первый год Кириллов должен отдыхать в июле. Во второй год Антонову отпуск нужен в мае. В третий год Дроздову отпуск нужен в июне. Борисову на четвёртый год надо запланировать отпуск в июле. А в августе все хотят отдыхать следующим образом: в первый год - Дроздов, во второй - Кириллов, в третий - Борисов, в четвёртый - Антонов. Составьте график отпусков. (4 балла)

4. У Васи есть пластмассовый угольник без делений с углами 30°, 60° и 90°. Ему нужно построить угол в 15° . Как это сделать, не используя другие инструменты? (5 баллов)

5. Один мальчик 16 февраля 2016 года сказал: "Разность между числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111. Когда он родился? (7 баллов)

1. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253). Приведите пример числа, из которого получается 4106137125. Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

2. Рыбак поймал 19,5 кг рыбы, а после вяления её масса уменьшилась до 11,7 кг. Сколько процентов своей массы теряет рыба при вялении?

3. В булочную зашли три женщины. Одна из них купила половину того хлеба, что был на полке, и ещё половину буханки. Вторая и третья женщины купили то же самое. Когда они ушли, булочная закрылась, потому что хлеб кончился. При этом продавцу не пришлось резать пополам ни одной буханки. Сколько буханок хлеба было в булочной перед приходом покупательниц?

4. Две горные деревни, Белогорье и Подгорье, соединены дорогой. На этой дороге нет горизонтальных участков: она везде либо поднимается, либо опускается. За 6 часов автобус доезжает от одной деревни до другой и возвращается обратно. На подъёме он едет со скоростью 50 км/ч, а на спуске - со скоростью 100 км/ч. Найдите расстояние между деревнями.

1. Какова сумма цифр, заменённых звёздочками?

1 * 3

+ 1 * 4

1 * 5

4 0 2 (2 балла)

2. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек будет больше, чем троек, и код должен делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф. (3 балла)

3. Продавец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя продавец получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки? (4 балла)

4. В бригаде строителей 5 человек: Миронов, Борисов, Иванов, Петров и Сидоров. Профессии у них разные: маляр, плотник, штукатур, каменщик, электрик. Они рассказали о себе следующее: Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Миронов и Петров подарили электрику красивую чеканку - картину. Борисов и Петров помогли плотнику строить гараж. Борисов и Сидоров с электриком ходят на рыбалку, а штукатур по воскресеньям приходит в гости к Миронову. У кого какая профессия? (5 баллов)

*Чеканка - технологический процесс изготовления рисунка, надписи, изображения, заключающийся в выбивании на пластине определённого рельефа. Один из видов декоративно-прикладного искусства. Является одним из вариантов художественной обработки металла.

6. Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и так далее, а на четвёртом и шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты - зелёным и так далее. незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

(8 баллов)

1. Сегодня - не воскресенье, а завтра - не среда. Вчера была не пятница, а позавчера был не понедельник. Вчера было не воскресенье. Послезавтра - не суббота. Какой сегодня день недели?

2. Диагональ делит четырёхугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см. Найдите длину этой диагонали.

3. Запишите в клетках квадрата 3 на 3 числа: -1; +2; -3; -4; +5; -6; -7; +8; -9 так, чтобы их произведения по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям были положительными.

4. Гному Нафане каждую ночь требуется новая свеча, которой он освещает себе дорогу, бродя по городу. Он может сделать 1 новую свечу из 5 свечных огарков. Если у него наберётся 25 огарков, то на сколько ночей ему хватит запаса новых свечей?

5. На плоскости нарисована окружность. с помощью чертёжного угольника найдите её центр.

1. Напишите все четырёхзначные числа, состоящие только из троек и четвёрок, которые делятся и на 3, и на 4. (2 балла)

3. Ребята на соревнованиях по лёгкой атлетике заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись. Даша сказала, что Андрей был первым, а Володя - вторым. Галя утверждала, что Андрей был вторым, а Борис - третьим. Лена же была убеждена, что Борис был четвёртым, а Сергей - вторым. Девочки обратились к судье этих соревнований. Он сказал, что каждая из трёх девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Как распределились места на соревнованиях? (4 балла)

4. Прямоугольник разрезали на два прямоугольника, периметр каждого из которых - целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника - тоже целое число метров? Приведите пример. (5 баллов)

5. В начале забега на 1000 м вперёд вырвался Андрей, вторым шёл Борис, а третьим - Виктор. За время бега Андрей и Борис менялись местами 6 раз, Борис и Виктор - 5 раз, Андрей и Виктор - 4 раза. В каком порядке прибежали спортсмены? Почему?

(9 баллов)

6. Таня написала название своего родного города и все его циклические сдвиги (перестановки по кругу), получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти "слова" по алфавиту, она составила таблицу 2 и выписала её последний столбец: ВКСАМО. Валера сделал то же самое с названием своего родного города и получил "слово" ОССНГСОРОК. Что это за город, если его название заканчивается на букву К?

Таблица 1 Таблица 2

М О С К В А А М О С К В

А М О С К В В А М О С К

В А М О С К К В А М О С

К В А М О С М О С К В А

С К В А М О О С К В А М

О С К В А М С К В А М О

(5 баллов)

1. Один занятой человек, накопив сразу несколько дел, отправился в город. Он купил себе новый галстук в магазине "Одежда"; в лавке "Корма для животных" приобрёл немного проса для своего любимого попугая; успел сходить в парикмахерскую, а ещё получил своё жалованье в городском банке. Этот банк открыт только по вторникам, пятницам и субботам. Парикмахерская, наоборот, по субботам не работает, а лавка "Корма для животных" в четверг и пятницу была закрыта. В какой день недели занятой человек сумел сделать столько дел?

3. Расположите три спички на столе так, чтобы их головки не касались ни стола, ни друг друга.

5. Установите закономерность в ряду чисел:

2; 3; 0; -2; -7; -14;.....

И напишите ещё два числа.

1. Придумайте натуральное число, которое само делится на 2016 и сумма цифр которого также делится на 2016. (3 балла)

3. Сравните числа x и y, если 13,5% числа x равны 12,5% числа y. (5 баллов)

4. Произведение двух взаимно простых чисел равно 3232. Найдите эти числа и их наименьшее общее кратное. (6 баллов)

5. В классе девочек, которым нравится математика, столько же, сколько и мальчиков, которым не нравится математика. Кого в классе больше: учеников, которым нравится математика, или мальчиков? (7 баллов)

6. В отаре 8 овец. Первая съест копну сена за 1 день, вторая - за 2 дня, третья - за 3 дня, ........., восьмая - за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена: две первые овцы или все остальные вместе? (10 баллов)

1. Купец приобрёл 11 шерстяных платков по 3 руб. 50 коп. за каждый. Несколько из них он продал, взяв за каждый проданный платок столько лишних полтинников, сколько платков осталось непроданными. Определите число проданных платков, зная, что он выручил сумму, равную затраченной на покупку всех платков.

2. Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушёные яблоки?

3. О числах a, b и c известно, что:

• a - b > 0

• b - c < 0

• c - a > 0

Расположите a, b, c на координатной прямой.

1. Распределите числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел в одной группе не была равна никакому числу второй группы. (2 балла)

2. В оранжерее были срезаны гвоздики: белые и розовые - 400 штук, розовые и красные - 300 штук, белые и красные - 540 штук. Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее? (3 балла)

3. Решите уравнение:

12,3/2,324 = (x - 4)/46,48

(4 балла)

4. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?" Первый ответил: "Ни одного." Второй сказал: "Один". Что сказал третий? (5 баллов)

5. Маша купила в магазине тетради по 13 рублей и блокноты по 15 рублей. За всю покупку она заплатила ровно 239 рублей. Сколько тетрадей и сколько блокнотов купила Маша? (6 баллов)

6. Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе - половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось имущества на 1000 денежных единиц. Узнайте, какова была стоимость имущества у купца? (8 баллов)

1. Радиус окружности увеличили на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь круга?

2. Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого, натянула между колышками верёвку с кольцом так, что кольцо может скользить от колышка к колышку, а к кольцу верёвкой 5 м привязала козу. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек, до которых может добраться коза.

4. В плоскости расположены 17 шестерёнок - первая зацеплена со второй, вторая - с третьей ....... последняя - с первой. Может ли эта система вращаться?

5. На столе один пятак лежит неподвижно, а другой катится вокруг первого, касаясь его. Сколько раз он обернётся вокруг своего центра, прежде чем вернётся в исходное положение?

6. Вокруг небольшого курортного городка расположены три круглых, не соединяющихся между собой озера: большое, средних размеров и маленькое. Отдыхающие, в каком бы направлении не отправлялись на загородную прогулку, двигаясь по прямой, обязательно приходили к одному из озёр. Может ли такое быть? Как расположены городок и озёра?

1. Масса бидона с молоком 32 кг, без молока - 2 кг. Какова масса бидона, заполненного молоком наполовину? (2 балла)

2. Первый раз Дима на рыбалку поехал на велосипеде. Рыбы поймал много, поэтому обратно шёл пешком. На весь путь он затратил 40 минут. Во второй раз он туда и обратно ехал на велосипеде и затратил 20 минут. Сколько времени Диме потребуется, чтобы пройти путь в оба конца пешком? (3 балла)

3. Придумайте три правильные несократимые дроби (числители дробей - не равные друг другу натуральные числа), сумма которых - целое число, а если каждую из этих дробей "перевернуть" (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом. (4 балла)

4. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см? (5 баллов)

5.Килограмм ореховой смеси из фундука и арахиса стоит 214 рублей, килограмм фундука - 350 рублей, а килограмм арахиса 180 рублей. Сколько граммов арахиса в ореховой смеси? (6 баллов)

1. В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве 17 лошадей следовало поделить между тремя наследниками в отношении: одна вторая, одна третья и одна девятая части. Как выполнить завещание?

2. На одной яблоне растут только зелёные яблоки, а на другой - только красные. Мальчишки собрали все яблоки с обоих деревьев и увидели, что на каждые 4 зелёных яблока приходится 5 красных. Они съели 16 красных и 16 зелёных яблок. Затем они подсчитали оставшиеся яблоки и увидели, что теперь на каждые 2 зелёных яблока приходится по 3 красных. Сколько яблок каждого цвета было первоначально на яблонях?

3. Числа AC и CA - простые (двузначные). Разность AC - CA есть квадрат натурального числа. Найдите AC.

1. Расставьте числа 9/10 ; 10/11; 11/12; 12/13 в порядке убывания. (2 балла)

2. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдётся ли класс, в котором меньше 35 учеников? (3 балла)

3. В классе 35 учеников. Из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11 - в экологическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько экологов увлекается математикой? (4 балла)

4. Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.) (5 баллов)

5. Ровно 2/3 класса любят стихи Лермонтова, а 3/4 класса - стихи Пушкина. При этом в классе нет учеников, которые не любят стихи ни того, ни другого поэтов. Какая часть класса любит стихи сразу двух поэтов? (6 баллов)

6. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая - с пятой, третья - с шестой. Докажите, что это число кратно 7; 11 и 13. (10 баллов)

1. Кот в сапогах поймал четырёх щук и ещё половину улова. Сколько щук поймал Кот в сапогах? (2 балла)

3. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались оба ложными: а) А - не третья планета от звезды; б) Б - вторая планета. Какими по счёту планетами от звезды являются А, Б, В? (5 баллов)

4. Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

25 - 7 * 3/7 + (12 23/25 - 4 2/5) * 25 + 125 * 357 * 0,008

(6 баллов)

5. Сколько всего прабабушек и прадедушек было у всех ваших прабабушек и прадедушек? (7 баллов)

6. В школьной математической олимпиаде принимали участие 9 учеников шестого класса. За каждую решённую задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешённую задачу с него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады из шестого класса было, по крайней мере, двое учеников, набравших одинаковое число очков (считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачётных, набрал 0 очков).

(8 баллов)

1. Зайцы опять пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы? (2 балла)

3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семёнов, Герасимов. Миша - не Герасимов. Отец Володи - инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова - учитель. Какая фамилия у каждого из троих друзей? (5 баллов)

4. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом известно следующее:

а) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

б) число, обозначенное первой цифрой, больше числа, обозначенного последней, в 4 раза.

Сколько лет Хоттабычу? (6 баллов)

5. У Пифагора спросили, сколько учеников посещают его школу и слушают его беседы. Он ответил, что половина изучает математику, четверть - природу, седьмая часть проводит время в размышлении и, кроме того, есть ещё три женщины. Сколько учеников посещают школу Пифагора? (7 баллов)

1. Когда первая из 7 яхт пересекла финишную прямую, "Альбатрос" отставал на полкорпуса от "Баклана", а "Чайка" была на полкорпуса впереди "Гагары". "Гагара" была впереди "Альбатроса", а "Буревестник" отставал от него больше, чем на 3 яхты. "Пеликан" пришёл к финишу, на пол корпуса опережая "Гагару", а "Пингвин" финишировал на полкорпуса раньше "Буревестника". Расстояние между каждой их двух яхт составляло по меньшей мере полкорпуса. В каком порядке они финишировали?

2. Написание слова НОС имеет горизонтальную ось симметрии, слово ПОТОП - вертикальную. Как надо написать слово НАТАША, чтобы оно обрело ось симметрии?

3. Блины разложили на 5 тарелок поровну. Ваня съел все блины с одной тарелки, затем половину блинов с другой тарелки и ещё треть блинов с третьей тарелки, на тарелках осталось всего 19 блинов. Сколько блинов съел Ваня?

5. Говорят, что в XIX веке каждый десятый русский мужчина был Иван, а каждый двадцатый - Пётр. если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

1. Найдите значение выражения:

1000 - 999 + 998 - 997 + 996 - ...... + 2 - 1

(2 балла)

2. Улитка ползёт вверх по дереву высотой 12 м. За день она поднимается на 6 м, а за ночь опускается на 5 м. За какое время улитка доберётся от земли до вершины дерева? (3 балла)

3. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше 5/6 и меньше 1. (3 балла)

4. Некоторый товар стоил 400 рублей. Затем цену увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20%. Какой стала цена в итоге? (4 балла)

5. Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 9 распилов и получили 14 чурбанчиков. Сколько брёвен они распилили? (6 баллов)

6. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович вступили в бой с великанами. Получив по четыре удара богатырскими палицами, великаны обратились в бегство. Больше всего ударов нанёс Илья Муромец - 11, меньше всех Алёша Попович - 5. Сколько всего было великанов? (8 баллов)

1. При строительстве средневекового собора в Голландии расходы на 4 художников и 3 каменщиков составили 37 гульденов, а на 3 художников и 4 каменщиков - 33 гульдена. Сколько платили каждому из мастеров?

3. Шерлок Холмс и доктор Ватсон беседуют у камина. Часы бьют полночь. За окном идёт дождь.

-Какая скверная погода! - говорит Ватсон. - Как Вы думаете, Холмс, через 168 часов будет, наконец, солнечно?

-Это исключено, - отвечает Холмс.

Откуда у Холмса такая уверенность?

4. Саша хотел сложить на калькуляторе два числа. Набирая второе число, он случайно нажал в конце лишний нуль. Поэтому вместо 2331 у него получилось 7641. Какие числа хотел сложить Саша?

5. В абсолютно тёмной комнате стоит сундук с сокровищами, в котором 25 рубинов, 15 алмазов и 4 сапфира. Какое наименьшее число драгоценных камней надо вынуть из сундука, чтобы можно было с уверенностью сказать следующее:

• среди вынутых камней есть пара камней одного вида;

• среди вынутых камней есть пара алмазов.

2. Шесть великанов съели шесть быков за шесть дней. За сколько дней девять великанов съедят девять быков? (2 балла)

3. Разместите 7 ягнят и 6 уток в 4-х хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и ягнята, и утки, а число их ног равнялось 10. (4 балла)

4. В записи 25*2* замените звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения.

(5 баллов)

5. На столе стоят три одинаковых ящика, в одном находятся 2 красных кубика, в другом - 1 красный и 1 синий кубики, в третьем - 2 синих кубика. На ящиках написано: "2 синих", "2 красных", "красный и синий". При этом известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Как вынув только один кубик, определить правильное расположение надписей? (6 баллов)

6. Сколько воды надо добавить к 400 г раствора, содержащего 60% соли, чтобы получился 24 %-ный раствор этой соли? (9 баллов)

1. Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул её, что корзина упала на землю, и все яйца разбились. Прохожий захотел возместить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. "Я не помню этого, - сказала женщина, - знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по два, то осталось одно яйцо. Точно так же всегда оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала их по три, по четыре, по пять и по шесть. Когда же я перекладывала их по семь, то не оставалось ни одного яйца. Сколько было яиц?

3. Разделите 7 яблок поровну между 12 учащимися так, чтобы ни одно яблоко не пришлось резать больше, чем на 4 части.

4. На острове рыцарей и лжецов был проведён опрос, в котором приняли участие все жители острова. В ходе опроса некоторые жители сказали, что на острове чётное число рыцарей. Остальные сказали, что на острове нечётное число лжецов. Докажите, что число всех жителей острова чётное.

1. Решите уравнение:

5(x + 2,6) = 3(2x + 5,2)

(2 балла)

2. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственной массы. Какова масса кирпича? (3 балла)

4. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. известно, что:

• лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

• Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник? (4 балла)

5. Вычислите:

89089089089 * 7373 - 73073073073 * 8989

(6 баллов)

6. Ученик вышел из дома в школу в 8 ч. утра. В какое время он придёт в школу, если до неё 1 км? (8 баллов)

1.Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена (гульден - устаревшая денежная единица некоторых немецких государств). На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из подмастерьев?

2. Докажите, что сумма двух нечётных последовательных чисел делится на 4.

3.Двое по очереди ломают шоколадку 6 х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

1. Митя, Сеня, Толя, Юра и Костя пошли на концерт и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он бы оказался между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конец очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех товарищей. Кто за кем стоит? (2 балла)

3. Из двух станций, расстояние между которыми 25,6 км, одновременно в одном направлении вышли два поезда. Впереди двигался поезд со скоростью 58,4 км/ч, и через 4 часа его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда. (5 баллов)

4. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней? (5 баллов)

6. На доске написано равенство:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20

Вместо символа * на доске в неизвестном порядке могут быть написаны знаки "+" или "-". Докажите, что это равенство не может быть верным. (7 баллов)

1. Об основании города Карфогена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, "сколько охватит воловья шкура". Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфоген, а впоследствии был построен и город. Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 м² , а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезала, 1 мм.

2. Николай с сыном и Пётр с сыном пошли на рыбалку. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр - столько же, сколько его сын. Все вместе поймали 27 рыб. Сколько рыб поймал Николай?

3. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку. Все прыжки имеют одинаковую длину. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

1. До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим явиться ко двору. И молвили они:

Илья Муромец: " Змея убил Добрыня Никитич". Добрыня Никитич: "Змея убил Алёша Попович". Алёша Попович: "Я убил змея". При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея? (3 балла)

2. Пекарня ежедневно выпекает одинаковое количество хлеба. Сколько хлеба выпекает пекарня за 9 дней, если за 3 дня она выпекает 510 кг хлеба? (3 балла)

3. Найдите во сколько раз объем куба с ребром 3 см меньше объёма куба с ребром 9 дм. (4 балла)

4. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое. (6 баллов)

6. Лев поручил лисе посчитать, сколько в лесу медведей, зайцев и волков. После подсчёта лиса доложила, что всего медведей, зайцев и волков в лесу 100, но волков на 25 больше, чем медведей; зайцев на 30 больше, чем волков. Один из зайцев, услышав такой ответ, расхохотался и сказал, что такого быть не может. Кто прав? (8 баллов)

2.1 Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идёт по 4 версты в час, а второй по 3 1/3 (три целых одна третья) версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 вёрст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошёл город?

2.2 Задача, предложенная несколько лет назад на вступительном испытании в президентский физико-математический лицей № 239:

Братья Андрей и Миша Ивановы играют в игру. Андрей загадывает число n, имеющее ровно 7 простых делителей. Миша придумывает гладкое пятимерное многообразие, описываемое формулой степени не более чем n² . Андрей указывает 5 точек на этом многообразии и объявляет длины не более чем 7 отрезков, соединяющих эти точки в пространстве R²⁵ . Если выбранные точки вместе с указанными Андреем отрезками образуют жёсткую структуру второго порядка, то побеждает Миша. В противном случае мальчики меняются местами: Андрей придумывает другое гладкое многообразие, проходящее через эти 5 точек, и Миша указывает 5 точек на нём. Игра продолжается, пока либо у кого-то из мальчиков не получилась жёсткая структура, либо не прошло 1003 хода — в этом случае побеждает Миша. В зависимости от n, назовите фамилию победителя при правильной игре.

1.Запишите число 16 с помощью четырёх пятёрок, соединяя их знаками действий. (2 балла)

2. На весы поставили пакет с пшеном и пакет с рисом. Масса груза оказалась равной 5 кг. Затем, не снимая эти пакеты, на весы поставили ещё такой же пакет с пшеном. На весах оказалось 8 кг крупы. Сколько килограммов риса в пакете? (3 балла)

3. Два покупателя купили материю по одинаковой цене: первый - 5 м, второй - 8 м. Сколько денег заплатил каждый покупатель, если вместе они заплатили 780 рублей? (4 балла)

5. Четыре близнеца - Коля, Петя, Боря и Вася праздновали свой день рождения. Им подарили коробку конфет. Договорившись разделить конфеты поровну, мальчики ушли играть с гостями. Коля зашёл в комнату первым, взял свою долю и ушёл. Через некоторое время зашёл в комнату Петя, взял четвёртую часть конфет и ушёл. То же самое проделали Боря и Вася, после чего в коробке осталась 81 конфета. Сколько всего конфет было в коробке и сколько конфет взял каждый? Кто и сколько конфет должен взять ещё? (6 баллов)