Основное свойство дроби
Основное свойство дроби.
Сегодня мы снова вспомним основное свойство дроби. Нам снова будет помогать пицца или тортик!
Мы уже знаем, что 2/8 — это не что иное, как 1/4 . Почему так? Допустим, я разрезала пиццу на 4 части: первая — с грибами, вторая —с помидорами, третья — с колбасой и четвертая — с сыром. Затем каждую из частей я снова разрезала на 2 равные части. Всего получилось 8 частей, так как из каждого исходного кусочка я получила 2. Получается, что 2/8 — это то же самое, что и 1/4 .
Заметьте, что все было бы точно так же, если бы я каждую часть разделила не на 2 кусочка, а на 3. Тогда получилось бы 3/12 .
1/4=2/8 =3/12 ...
Общий принцип: если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число, дробь не изменится.
Алгебраически это можно записать так:
ac/bc=a/b
где a, b и c — любые натуральные числа (≠ 0).
Этот принцип работает и в обратную сторону: представьте себе 6/8 (то есть 6 кусочков из 8); если соединить каждую пару, получим 3/4 .
6/8=3/4
Числитель и знаменатель стали меньше, то есть мы сократили дробь.
На общий множитель можно не только умножать, но и делить. В таком случае дроби сокращаются. В результате получаются равные дроби, где числитель и знаменатель будут меньше. В этом и состоит основное свойство дроби.
Основное свойство дроби, с одной стороны, помогает приводить дроби к общему знаменателю, а с другой — сокращать их (то есть делать числитель и знаменатель меньше, не меняя саму дробь).
Обратите внимание: если речь идет о натуральных числах, то дроби сокращаются на наибольший общий делитель (НОД) .
Например, у чисел 2 и 8 наибольший общий делитель равен 2. Значит,2/8 можно сократить на 2:
В числителе: 2 : 2 = 1
В знаменателе: 8 : 2 = 4
Получаем 1/4 .
А если бы у меня была дробь 5/15 , ее можно сократить на 5, и тогда получится 1/3 .
Пример 1.
Начнем с простого примера: нужно сократить дробь 2/4 , то есть разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Ответ: на что можно поделить 2 и 4? Можно и на 1, но толку не будет, так как в результате останется то же самое число. Поэтому делим на 2 и получаем 1/2 .
На письме в таком случае зачеркиваем числитель и знаменатель и рядом приписываем числа, которые получаются при делении.
Пример 2
Нужно сократить 3/9 .
Ответ: числитель и знаменатель разделим на 3, получаем 1/3 .
Пример 3
Сократим 6/10 .
Ответ: здесь немного сложнее, так как мы не можем сократить дробь ни на 6, ни на 10. Зато можем поделить на 2, тогда получим 3/5. Дальше делить не на что, потому что числитель делится только на 3 или 1, знаменатель на 3 не делится, а на 1 делить бессмысленно. Такие дроби называются несократимыми.
Пример 4
Нужно сократить 24/40 .
Ответ: существует два варианта решения:
1) Найдем НОД (в данном случае — 8) и поделим числитель и знаменатель на 8. НОД — это нечто вроде общего ингредиента у двух пицц. Если одна пицца с сыром и колбасой, а другая — с сыром и помидорами, то сыр — это их общий ингредиент, НОД. На него мы и можем сократить
2) Но можно действовать и последовательно, перебирая общие множители по порядку. Сначала разделим 24 и 40 на 2, получим 12/20. Затем снова сократим на 2, получим 6/10 . Еще раз сократим на 2, получим 3/5 . А вот 3/5 — это уже несократимая дробь.
24/40 =12/20 =6/10 =3/5
Несократимая дробь — это такая дробь, у которой НОД равен 1.
Вот так благодаря основному свойству дробей мы можем их сокращать. Как вы помните, это же свойство мы можем использовать, чтобы домножать дроби.