Основное свойство дроби

Основное свойство дроби.

Сегодня мы снова вспомним основное свойство дроби. Нам снова будет помогать пицца или тортик!

Мы уже знаем, что 2/8 — это не что иное, как 1/4 . Почему так? Допустим, я разрезала пиццу на 4 части: первая — с грибами, вторая —с помидорами, третья — с колбасой и четвертая — с сыром. Затем каждую из частей я снова разрезала на 2 равные части. Всего получилось 8 частей, так как из каждого исходного кусочка я получила 2. Получается, что 2/8 — это то же самое, что и 1/4 .

Заметьте, что все было бы точно так же, если бы я каждую часть разделила не на 2 кусочка, а на 3. Тогда получилось бы 3/12 .

1/4=2/8 =3/12 ...

Общий принцип: если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число, дробь не изменится.

Алгебраически это можно записать так:

ac/bc=a/b

где a, b и c — любые натуральные числа (≠ 0).

Этот принцип работает и в обратную сторону: представьте себе 6/8 (то есть 6 кусочков из 8); если соединить каждую пару, получим 3/4 .

6/8=3/4

Числитель и знаменатель стали меньше, то есть мы сократили дробь.

На общий множитель можно не только умножать, но и делить. В таком случае дроби сокращаются. В результате получаются равные дроби, где числитель и знаменатель будут меньше. В этом и состоит основное свойство дроби.

Основное свойство дроби, с одной стороны, помогает приводить дроби к общему знаменателю, а с другой — сокращать их (то есть делать числитель и знаменатель меньше, не меняя саму дробь).

Обратите внимание: если речь идет о натуральных числах, то дроби сокращаются на наибольший общий делитель (НОД) .

Например, у чисел 2 и 8 наибольший общий делитель равен 2. Значит,2/8 можно сократить на 2:

В числителе: 2 : 2 = 1

В знаменателе: 8 : 2 = 4

Получаем 1/4 .

А если бы у меня была дробь 5/15 , ее можно сократить на 5, и тогда получится 1/3 .

Пример 1.

Начнем с простого примера: нужно сократить дробь 2/4 , то есть разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Ответ: на что можно поделить 2 и 4? Можно и на 1, но толку не будет, так как в результате останется то же самое число. Поэтому делим на 2 и получаем 1/2 .

На письме в таком случае зачеркиваем числитель и знаменатель и рядом приписываем числа, которые получаются при делении.

Пример 2

Нужно сократить 3/9 .

Ответ: числитель и знаменатель разделим на 3, получаем 1/3 .

Пример 3

Сократим 6/10 .

Ответ: здесь немного сложнее, так как мы не можем сократить дробь ни на 6, ни на 10. Зато можем поделить на 2, тогда получим 3/5. Дальше делить не на что, потому что числитель делится только на 3 или 1, знаменатель на 3 не делится, а на 1 делить бессмысленно. Такие дроби называются несократимыми.

Пример 4

Нужно сократить 24/40 .

Ответ: существует два варианта решения:

1) Найдем НОД (в данном случае — 8) и поделим числитель и знаменатель на 8. НОД — это нечто вроде общего ингредиента у двух пицц. Если одна пицца с сыром и колбасой, а другая — с сыром и помидорами, то сыр — это их общий ингредиент, НОД. На него мы и можем сократить

2) Но можно действовать и последовательно, перебирая общие множители по порядку. Сначала разделим 24 и 40 на 2, получим 12/20. Затем снова сократим на 2, получим 6/10 . Еще раз сократим на 2, получим 3/5 . А вот 3/5 — это уже несократимая дробь.

24/40 =12/20 =6/10 =3/5

Несократимая дробь — это такая дробь, у которой НОД равен 1.

Вот так благодаря основному свойству дробей мы можем их сокращать. Как вы помните, это же свойство мы можем использовать, чтобы домножать дроби.