Решение задач с помощью уравнений
Решить задачу иногда бывает проще, если составить уравнение. Рассмотрим, как можно решить задачу именно при помощи уравнения.
Алгоритм решения:
Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.
Определить, какие величины известны, а какие - нет.
Проверить соответствие единиц измерения величин (если необходимо, согласовать их. Например, скорость дана в км/ч, и время тоже должно быть указано в часах).
Установить взаимосвязи между величинами (если необходимо записать их в виде формул, таблиц, схем, рисунков).
Одну из неизвестных величин обозначить буквой, например, x (или любой другой буквой).
Выразить через x значения других неизвестных величин.
Составить уравнение.
Решить уравнение:
При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:
переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный;
делить или умножать обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля
Соотнести полученное значение x с вопросом задачи (при необходимости найти искомую величину) и проверить соответствие полученного ответа реальности.
Задача 1.
В одном баке воды было в 4 раза больше, чем в другом. Из первого бака перелили в другой 36 литров, и воды в баках стало поровну. Сколько литров воды было в каждом баке?
Решение:
Пусть x (л) — количество воды, которое было до переливания во втором баке.
Тогда в первом баке воды было 4x (л).
После переливания в первом баке осталось (4x-36) (л) воды, а во втором стало (x+36) (л).
Обратите внимание! У каждой величины указана размерность!
По условию задачи известно, что после переливания в обоих баках воды стало поровну.
Составим и решим уравнение:
4x - 36 = x + 36
4x - x = 36 + 36
3x = 72
x = 24 (л) - количество воды, которое было до переливания во втором баке
По условию задачи в первом баке было в 4 раза больше воды, чем во втором. Значит, в первом баке было 4*24=96 (л) воды.
Ответ: в одном баке было 24 л воды, а в другом баке было 96 л воды.
Задача 2.
У двух подруг была равная сумма денег. Первая купила 5 одинаковых шоколадок, и у неё осталось 50 рублей. Вторая купила 3 шоколадки за ту же цену, и у нее осталось 120 рублей. Какова цена одной шоколадки?
Решение:
Пусть х (руб) – цена одной шоколадки.
Тогда у первой девочки было (5х + 50) рублей.
У второй девочки было (3х + 120) рублей.
У подруг было равное количество денег, по условию задачи.
Составим и решим уравнение:
5х + 50 = 3х + 120
5х – 3х = 120 – 50
2х = 70
x = 70 : 2
x = 35 (руб) – цена одной шоколадки
Ответ: шоколадка стоит 35 рублей.
Задача 3.
Расстояние от одного города до другого катер по течению проплыл за 5 часов, а против течения за 6 часов. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Решение:
Пусть х (км/ч) – скорость катера в стоячей воде (собственная скорость катера).
Тогда скорость катера по течению (х + 2) (км/ч)
Скорость против течения (х – 2) (км/ч)
Пройденный путь находим по формуле: S = v · t
Тогда путь по течению равен 5(х + 2) (км)
Путь против течения равен 6(х – 2) (км)
При этом расстояние между городами не меняется, то есть по течению и против течения катер прошёл одно и то же расстояние.
Для решения данной задачи составим таблицу:
Направление Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км)
По течению x + 2 5 одинаково
Против течения x – 2 6 одинаково
Составим и решим уравнение:
5(х + 2) = 6(х – 2)
5х + 10 = 6х – 12
5х – 6х = – 12 – 10
– х = – 22
Умножим обе части уравнения на (– 1):
x = 22 (км/ч) - собственная скорость катера
Ответ: собственная скорость катера 22 км/ч.
Источники:
Дорофеева Г.В., Петерсон Л.Г. Математика (в 3 частях). 6 класс. Ч.3: учебник. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 176 с.
Электронный ресурс: режим доступа https://www.yaklass.ru/p/matematika/6-klass
Сайт Российская электронная школа: режим доступа https://resh.edu.ru/subject/lesson/6892