Формулы сокращённого умножения
Итак, мы уже многому научились. Скобки раскрывать и наоборот, собирать слагаемые в скобки. Но впереди самое интересное — формулы сокращенного умножения!
Формулы сокращённого умножения. Формула разности квадратов.
Сама формула выглядит так:
a2 – b2 = (a-b)(a+b)
Читается так: разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на их сумму.
Формулировку выучить слева направо и справа налево!!! Буду спрашивать!
Откуда взялась эта формула? Через раскрытие скобок:
(a - b)(a+b) = a2-ab+ab-b2 = a2- b2
Более того, есть геометрическое доказательство (см. рис 15 на с 129 учебника).
Где применяется эта формула?
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
x2- 25 = (x - 5)(x + 5)
x2- 4y2 = (x-2y)(x + 2y)
z6-1 = (z3-1)(z3+1)
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЕЛ
39 · 41 = (40 - 1)(40 +1) = 1600 - 1= 1599
(так можно быстро сосчитать произведение, не пользуясь калькулятором, - очень полезно для экзамена)
82 · 78 = (80 + 2)(80 - 2) = 6400 - 4 = 6396
44 · 46 = (45 -1)(45 + 1) = 452 - 1 = 2025 - 1 = 2024
1212 - 212 = (121 - 21) · (121 + 21) = 14 200
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Доказать, что 20152 — 19992 делится на 8 (действительно, т. к. в ответе получается 16)
(2015 - 1999)(2015 + 1999)
Доказать, что 8999 — составное число. Конечно, можно попытаться найти делитель, но можно представить и по-другому:
89 999 = 90 000 - 1 = 3002 - 12 = (300 - 1)(300 + 1)
УРАВНЕНИЯ
x2 = 25
x2 - 25 = 0
(x - 5)(x + 5) = 0
Теперь мы пришли к задаче, которую уже умеем решать - произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысл:
x = 5
x = -5
Ответ: {-5; 5}
Итак, сегодня мы с вами выяснили, как выглядит и как применяется формула разности квадратов. Как видите, применений у нее множество, и о некоторых из них мы еще будем говорить на следующих уроках. Так что, добавляем эту формулу в свой арсенал.
Посмотрите видеоурок по ссылке: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kvadratov
Формулы сокращённого умножения. Формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Давайте рассмотрим такой пример:
(2x + 1)2
Конечно, мы можем расписать его, как делали раньше. Можем? Безусловно.
Но на самом деле существуют специальные формулы, упрощающие данный процесс.
Одна из таких формул называется квадрат суммы.
Данную формулу можно расписать так:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab+ b2
Теперь запишем в том виде, в котором она обычно дается (в тетрадь записать и выучить!!!):
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Читается так: квадрат суммы двух чисел (выражений) равен квадрату первого числа (выражения) плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа (выражения).
Формулировку выучить слева направо и справа налево!!! Буду спрашивать!
Как же это применять? На самом деле, очень просто. В роли a и b могут быть любые выражения (или числа). Попробуем раскрыть предыдущий пример по формуле:
(2x + 1)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1
Вообще, с этой формулой нужно работать, как и с любой другой формулой. Это некий шаблон, в который можно подставлять то, что есть в вашей задаче.
Интересно то, что эту формулу можно представить не только алгебраически, но и геометрически (см. рис 16 на с.133 учебника)
ПРИМЕР № 1
Дано:
(5x + 2y)2
Получается:
(5x + 2y)2 = (5x)2 + 2·5x·2y + (2y)2 = 25x2 + 20xy + 4y2
ПРИМЕР № 2
Дано:
(a + 1/2)2
Решаем его так:
(a + 1/2)2= a2 + 2·a·1/2 + (1/2)2 = a2 + a + 1/4
ПРИМЕР № 3
Дано:
412
Можно решить это, воспользовавшись нашей формулой:
412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
Как видите, мы посчитали довольно быстро.
Итак, сейчас мы с вами познакомились с формулой квадрата суммы. Дальше — квадрат разности.
Формула квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!!!)
Начнем с формулы. Мы уже знаем формулу суммы. Так давайте сведем новую формулу к той, которую мы уже знаем:
(a - b)2 = (a + (-b))2 = a2 + 2 · a · (-b) + (-b)2
Таким образом, формула выглядит так:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Не путать с разностью квадратов!!!
Читается так: квадрат разности двух чисел (выражений) равен квадрату первого числа (выражения) минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа (выражения).
Формулировку выучить слева направо и справа налево!!! Буду спрашивать!
Давайте посмотрим, как работает эта формула.
ПРИМЕР № 1
Дано:
(3x-2)2
(3x - 2)2= (3x)2 - 2·3x·2 + 22 = 9x2 - 12x + 4
ПРИМЕР № 2
Дано:
782
Формула работает и для чисел:
782=(80-2)2= 802 - 2·80·2 + 22 = 6400 - 320 + 4 = 6084
ПРИМЕР № 3
Дано:
(2x - 3)2 + (2x + 3)2
Здесь, как видите, нужно применить и формулу квадрата разности, и формулу квадрата суммы:
(2x - 3)2 + (2x + 3)2 = 4x2 - 12x + 9 + 4x2 + 12x + 9 = 8x2 + 18
ПРИМЕР № 4
Дано:
a2 + 14a + 49
Это преобразование уже справа налево. В предыдущих случаях мы раскрывали скобки, а теперь будем сворачивать их:
a2 + 14a + 49 = (a + 7)2
Но надо обязательно проверить, второе слагаемое (14а) - удвоенное произведение или нет. В нашем случае оно удвоенное, значит, все верно.
ПРИМЕР № 5
Дано:
16x2 - 8x + 1
Аналогично:
16x2 - 8x + 1 = (4x - 1)2
ПРИМЕР № 6
Дано:
4x2 - 12xy + 9y2
Здесь добавилась вторая переменная. Решаем так:
4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)2
ПРИМЕР № 7
Дано:
b2 - 2b + 4
Здесь нельзя выделить полный квадрат (второе слагаемое не удвоенное произведение!). Поэтому будьте внимательны!
ПРИМЕР № 8
Дано:
4a2 + 4ab + b2 (при a = 3,25 и b = -0,5)
Также формулы помогают вычислить значения выражений. Давайте упростим выражение:
4a2 + 4ab + b2 = (2a + b)2
Теперь подставлять числа в выражение гораздо проще.
При a = 3,25 и b = -0,5:
(2a + b)2 = (2·3,25 + (-0,5))2 = (6,5 - 0,5)2 = 36
Итак, сегодня мы с вами познакомились с формулами квадрата суммы и квадрата разности. Я очень надеюсь, что эти два новых помощника сильно облегчат решение, когда вы будете упрощать выражения, вычислять значения и, может быть, комбинировать эти идеи.
Формулы сокращённого умножения. Формулы куба суммы, куба разности, разности кубов, суммы кубов.
Мы с вами знаем уже немало формул — квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов. Пришло время познакомиться еще с четырьмя.
Сначала речь пойдет о кубе суммы, кубе разности.
Куб суммы:
(x + y)3 = x3 + 3x2 y+ 3xy2 + y3
Читается так: куб суммы двух чисел (выражений) равен кубу первого числа (выражения) плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого числа(выражения) на квадрат второго, плюс куб второго числа (выражения).
Куб разности:
(x - y)3 = x3 - 3x2 y+ 3xy2 - y3
Читается так: куб разности двух чисел (выражений) равен кубу первого числа (выражения) минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого числа(выражения) на квадрат второго, минус куб второго числа (выражения).
Давайте попробуем применить эти формулы.
ПРИМЕР № 1
Дано: (x + 2)3
(x + 2)3 = x3 + 3·x2 ·2 + 3·x·(2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
ПРИМЕР № 2
Дано: (3a – b)3
Аналогично и с разностью:
· (3a – b)3 = 27a3 – 3 · 9a2 · b + 3 · 3ab2 – b3 = 27a3 – 27a2b + 9ab2 – b3
ПРИМЕР № 3
Дано: (3x2 – 2x3)3
(3x2 – 2x3)3 = 27x6 – 3 · 9x4 · 2x3 + 3 · 3x2 · 4x6 – 8x9 = 27x6 – 54x7 + 36x8 – 8x9
Заметьте, что сейчас мы пользовались этими формулами слева направо, но можно ими пользоваться и справа налево.
ПРИМЕР № 4
Дано: x3 + 3x2 + 3x + 1
Нужно разложить на множители это выражение:
x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3
ПРИМЕР № 5
Дано: y3 + 6y2 + 12y + 8
Также раскладываем на множители:
y3 + 6y2 + 12y + 8 = (y + 2)3
ПРИМЕР №6
Дано: x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
Аналогично можно решать и такие уравнения:
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
(x + 1)3 = 0
x + 1 = 0
Ответ: {-1}
ПРИМЕР № 7
Дано: 313
313 = (30 + 1)3 = 27000 + 2700 + 90 + 1 = 29791
ПРИМЕР № 8
Дано: 4x3 + 18x2 + 27x + 13,5 = 0
Что напрашивается сделать с числом 13,5? Конечно же, удвоить! Так давайте все это выражение удвоим, т.е умножим на 2:
8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 0
(2x + 3)3 = 0
2x + 3 = 0
x = –1,5
Две оставшиеся формулы — разность кубов и сумма кубов.
Сумма кубов
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2 )
Читается так: сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат разности этих чисел (выражений).
Выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности, т.к. отсутствует удвоение произведения первого числа на второе.
Обратите внимание! Формула суммы кубов существует, а суммы квадратов - нет.
Разность кубов
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2 )
Читается так: разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат суммы этих чисел (выражений).
Выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы, т.к. отсутствует удвоение произведения первого числа на второе.
Как мы будем пользоваться этими формулами.
ПРИМЕР № 9
Дано: x3 + 1
В чистом виде применяем формулу:
x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)
ПРИМЕР № 10
Дано: 8a3 – 27
Пока вроде разности кубов нет, но очень похоже на это:
8a3 – 27 = (2a)3 – 33 = (2a – 3)(4a2 + 6a + 9)
ПРИМЕР № 11
Дано: 125 – (x + 2)3
Как видите, иногда какое-то из выражений может быть со скобками:
125 – (x + 2)3 = (5 – (x + 2)) · (25 + 5(x + 2) + (x + 2)2)
Осталось упростить данное выражение:
(5 – (x + 2)) · (25 + 5(x + 2) + (x + 2)2) = (3 – x)(25 + 5x + 10 + x2 + 4x + 4) = (3 – x)(x2 + 9x + 39)
ПРИМЕР № 12
Дано: 53 + 212
Доказать, что данное выражение делится на 7:
53 + 212 = 53 + (24)3 = (5 + 24)(52 – 5 · 24 + 28) = 21(52 – 5 · 24 + 28)
Итак, это выражение делится на 7, т.к. 21 делится на 7. Вот так с помощью суммы кубов мы доказали это.
ПРИМЕР №13
Дано: x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0
Заметим, что левая часть этого уравнения очень напоминает формулу:
x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)3 + 1 = 0
Здесь формула суммы кубов:
(x + 1)3 + 13 = 0
(x + 2)((x+1)2 – (x + 1)+1) = 0
x = –2
x2 + 2x + 1 – x – 1 + 1 = 0
Ну и очевидно, что это уравнение решений не имеет.
Ответ: {–2}
ПРИМЕР №14
Дано: a(a + 1)(a – 1) – (a – 2)(a2 + 2a + 4) при а = –4
Конечно, подставлять здесь -4 не очень хорошо. Давайте сначала упростим:
a(a + 1)(a – 1) – (a – 2)(a2 + 2a + 4) = a(a2 – 1) – (a3 – 8) = a3 – a – a3 + 8 = 8 - a
при a = -4:
8 - a = 8 - (-4) = 12
Итак, сегодня мы с вами познакомились с четырьмя новыми формулами — кубом суммы и кубом разности, суммой кубов и разностью кубов. Эти формулы нужно добавить в свою копилку, использовать их в различных задачах, ну и, конечно, выучить!