Олимпиада, олимпиада...
Задачи школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников. Условия и решения.
1.Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир? Ответ обоснуйте.
Решение.
Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 110 делится на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме должно быть 2 подъезда, 5 квартир и 11 этажей.
Ответ: 11.
2.Используя цифру 3, скобки и знаки арифметических действий получите число 100. ( Предложите вариантс использованием меньшего количества знаков).
Решение.
(33 —3) : 3 ·(33 —3) : 3= 100,
или (333 —33) : 3= 100.
3.Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите все возможные случаи таких чисел.
Решение.
Если число делится на 30, то оно также делится на 3 и на 10. Т.к. число делится на 10, тов последнем разряде числа должен быть ноль. Тогда вычёркиваем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём, значит, нужно вычеркнуть цифру 1 или цифру 4. Таким образом, получаем числа 145650, 115650 и 415650.
Ответ: 145650, 115650 и 415650.
4.Имеется 19 каменных глыб весом 1,2т каждая и 47 глыб весом 1,1т каждая. Начальник станции хочет погрузить их в два вагона так, чтобы общий вес камней в них был одним и тем же. Сможет ли он сделать это, не дробя камни? Ответ обоснуйте.
Решение:
Общий вес глыб равен 19×1,2+47×1,1=74,5 (т)
Если бы их удалось разложить поровну в два вагона, то вес глыб в каждом равнялся бы 74,5:2=37,25 (т)
Но веса всех глыб кратны 0,1 т, а число 37,25 т не является таковым. Поэтому глыбы требуемым образом разложить нельзя.
Ответ: нельзя.
5.У ослика Иа-Иа есть 100 палочек. Длина каждой палочки —1 см или 3 см. Докажите, что, сломав не более одной палочки, Иа-Иа сможет из всех палочек сложить прямоугольник (ослик ломает палочку на две части).
Решение:
Возьмем любые три палочки. Очевидно, среди них найдутся либо две палочки длины 1 см, либо две палочки длины 3 см. Сделаем их двумя противоположными сторонами прямоугольника. Оставшиеся 98 палочек выложим в один ряд и разделим его ровно посередине, разломав, если нужно, палочку, на которую пришлась эта середина. Получим две другие стороны прямоугольника.
6.Четыре приятеля собирали грибы. На вопрос: «Сколько грибов вы вместе собрали?» они ответили так. Петя: «Не меньше ста». Вася: «Белых –двадцать, а остальные я не считал». Миша: «Вася ошибся». Юра: «Не больше 99» Сколько ребят сказали правду?Ответ обоснуйте.
Решение:
Заметим, что если Петя прав, то Юра неправ, и наоборот. Кроме того, если Вася прав, то Миша неправ, и наоборот. Таким образом, в паре Петя–Юра ровно один мальчик сказал правду и в паре Вася–Миша тоже. Получается, что правду сказали ровно двое.
Ответ: двое.