Конфетка

Для устройства прогулочной зоны в парке необходимо проложить прямолинейную дорожку с параллельными краями. Дорожка должна пройти между тремя садовыми скульптурами так, чтобы две из них оказались на одной обочине, а оставшаяся - на другой. Выберите направление дорожки и постройте её изображение на рисунке с помощью циркуля и линейки двумя способами. (Считаем, что мешающие деревья можно будет пересадить.) Для каждого способа подберите инструменты, которыми можно произвести эти же построения на местности. Каким способом вы воспользовались бы в реальной ситуации? Почему? Имейте в виду, что циркулем при построениях на местности не пользуются, т.к. чертить на земной поверхности какие бы то ни были линии (прямые или дуги) очень сложно.

Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n =3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.

а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n = 4?

б) Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n =5?

Подсказка: используйте разложение числа по разрядным слагаемым.

1. Пусть a, b, c - натуральные числа. Докажите, что число a³ + b³ + c³ тогда и только тогда делится на 6, когда a+b+c делится на 6.

Подсказка: рассмотрите разность этих многочленов и используйте метод группировки и одну из формул сокращённого умножения.

2. Представьте число 1 в виде суммы четырёх долей (т. е. дробей вида 1/n) с попарно различными натуральными знаменателями.

3. Три пирата делили сундук золотых монет. Сначала первый взял 30% всех монет, затем второй 40% остатка, затем третий 50% остатка. После этого пираты обнаружили, что в сундуке остаётся ещё 63 монеты. Сколько всего монет было в сундуке?

1. Среди философов Лапуты каждый седьмой - математик, а каждый девятый из математиков - философ. Кого больше на Лапуте - философов или математиков? Во сколько раз?

2. В волейбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз), 20% всех команд не одержали ни одной победы. Сколько всего команд участвовало в этом турнире?

3. В двух кошельках лежат 4 монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?

1. Докажите, что n⁵ + 4n делится на 5 при любом натуральном n.

Подсказка: используйте вынесение общего множителя за скобки и определите цифру, на которую может заканчиваться четвёртая степень натурального числа.

2. Можно ли из цифр 3, 4, 5, 9, 9 составить пятизначное число, являющееся точным квадратом (квадратом натурального числа)?

3. У эксперта есть мешок с золотым песком, двухчашечные весы и всего лишь одна гирька весом 1г. За какое наименьшее число взвешиваний он может отмерить ровно 100г золотого песка?

1. В вагоне 80% пассажиров - русые и 70% - мужчины. Верно ли, что русые мужчины составляют большинство пассажиров вагона?

2. Напишите восьмизначные числа с выполнением следующих условий:

• в каждом из них используются цифры 1, 2, 3 и 4 по два раза каждая;

• между единицами стоит одна цифра;

• между двойками стоят две цифры;

• между тройками стоят три цифры;

• между четвёрками стоят четыре цифры.

1. Найдите все пары натуральных чисел, у которых НОД на 10 меньше, чем НОК.

2. Для поправки здоровья богатырю требуется выпить из молочной реки ровно 43 литра. У него есть два ведра в 24 и 11 литров и достаточно большая бочка. Сможет ли он поправить своё здоровье?

2. Федя и Петя спускаются на эскалаторе. Посередине пути Федя срывает с Пети шапку и перебрасывает её на эскалатор, двигающийся параллельно в другую сторону с той же скоростью. Петя сразу бросается бежать вниз, а затем по параллельному эскалатору вверх - за шапкой. Федя же сразу бросается бежать вверх, а затем по параллельному эскалатору вниз. Кто раньше добежит до шапки, если собственные скорости ребят одинаковы?

3. Точки А, B, C, D лежат на прямой, а точка М - вне этой прямой. Все точки попарно соединены отрезками. Могли ли получиться 6 равнобедренных треугольников?

4. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если BC=12.

1. В магазине, который закупает колпаки для Деда Мороза у поставщика оптом и продаёт их в розницу, идёт новогодняя акция: при покупке двух колпаков - скидка 20%, а при покупке трёх колпаков - скидка 30% на эту покупку. Какова же наценка магазина в процентах (на сколько процентов розничная цена больше закупочной), если магазин имеет одинаковую прибыль с каждой продажи со скидкой?

2. В филателистическом обществе 9 человек. Из них 5 хотят на ближайших выборах избрать другого председателя. Однако действующему председателю удалось внушить членам общества, что самые демократические выборы - двухступенчатые. После этого он организовал выборы так, что остался у власти. Как он это сделал?

3. По обе стороны реки, на разных расстояниях от берегов и не на одном перпендикуляре к берегам, расположены деревни А и В. Как определить место постройки моста через реку, чтобы путь из А в В был кратчайшим (см. рис. 1)?

4. Выберите пару равных треугольников: △OAB; △OAC; △ACB; △OCD; △OBD; △BCD (см. рис.2). Равенство докажите.

1. Костя приехал в аэропорт, посмотрел на электронное табло, которое показывает время (часы и минуты), и заметил, что на табло горят четыре различные цифры. Когда он в следующий раз посмотрел на табло, там горели четыре другие различные цифры. Какое наименьшее время могло пройти между двумя этими моментами?

2. Дорога между двумя горными сёлами А и В идёт то в гору, то под гору. Старый автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из А в В и обратно. Какова была его средняя скорость на всём пути?

3. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

4. Три луча выходят из одной точки и образуют три угла, каждый из которых меньше развёрнутого. Величина одного из них равна 100 градусов. Найдите угол между биссектрисами двух других углов.

1.Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов утра. Точно в 8 часов к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошёл навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше обычного. В какое время произошла встреча инженера с машиной?

2. Прошло время, разбогатела бабушка. Везёт на базар корзину с яйцами. Да беда случилась - налетел на её тележку мотоциклист. яйца разбились, все до единого.

- Не горюй, бабуля, - сказал он, - заплачу тебе за яйца. А сколько яиц-то было?

- Не знаю, голубчик. Разложила я их на две кучки поровну, осталось одно яйцо. То же повторилось, когда я их раскладывала поровну на четыре, на пять, на шесть кучек. И только когда на семь кучек поровну разложила, ни одного не осталось. А больше 400 яиц в корзину не поместится.

Задумался парень: сколько же яиц везла бабушка на базар?

3. Стороны света в России можно определять по Солнцу и механическим часам. Положим часы на горизонтальную поверхность и направим часовую стрелку на Солнце, биссектриса между часовой стрелкой и направлением на число 12 покажет направление на юг (без учёта декретного времени).

Точность этого метода невелика, но для того, чтобы примерно сориентироваться, он вполне пригоден.

Укажите направление на север на изображении часов, а также градусную меру угла между направлением на Солнце и на север, если часы показывают четыре часа дня.

4. Найдите угол между часовой и минутной стрелками: а) в 9 часов 30 минут; б) в 10 часов 40 минут.

1. Ваш шагомер показал, что Вы поставили новый рекорд - прошли миллион шагов. Это приложение предоставляет возможность установить и длину своего шага. Сделайте прикидку, как много Вы прошли, сделав миллион шагов. Больше ста километров или меньше?

2. В деревне А живёт 50 школьников, в деревне В живёт 100 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из А в В надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?

3. Длина отрезка АВ = 3, длина отрезка ВС = 4. Найти: АС = ?

4. Понесла бабушка яйца на базар продавать. Первый покупатель купил половину всех яиц и ещё пол-яйца. Второй - половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третий купил одно яйцо, последнее. Сколько же яиц принесла бабушка на базар?

1. Как отметить середину прямолинейной садовой дорожки, если у Вас есть только верёвка, которая короче, чем дорожка?

2. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки механических часов образуют прямой угол?

3*. Встретились два инженера. Когда-то они вместе учились в школе, много лет друг друга не видели, и им было о чем поговорить. Один сказал, что у него трое сыновей. И что произведение возрастов этих детей равно 36.

Второй спросил: «А чему равна сумма их возрастов»

– Сумма возрастов, - сказал первый, - такая же, как номер автобуса, который только что проехал мимо.

- Не хватает данных, - ответил второй.

- Хорошо, - согласился первый. – Старший сын рыжий.

Второй назвал возраст детей.

Сколько же лет сыновьям?