Синус, косинус

Система измерения углов.

До сих пор мы измеряли углы только в градусах. Оказывается, есть и другая система измерения углов – радианы.

По определению, 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Вот он, на рисунке.

Как перевести градусы в радианы и наоборот?

Вспомним, что полный круг – это 360 градусов. Длина окружности равна 2πr. Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как 360°- к величине угла, опирающегося на дугу на рисунке, то есть к углу в 1 радиан.

360° - 2πr

1 радиан - r

Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полного круга и длина дуги на нашем рисунке.

Из этой пропорции получаем, что 360° = 2π радиан. Значит, полный круг – это 2π радиан. Тогда полкруга – это π радиан, четверть круга (то есть 90°) – это π/2 радиан.

Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот,

Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусов.

Тригонометрический круг.

Тригонометрический круг - самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он красив, легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг заменит вам десяток таблиц.

Нарисуем единичную окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY, в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Договоримся отсчитывать углы от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки.

Мы помним, что полный круг — это 360 градусов. Тогда точка с координатами (1;0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами (-1; 0) отвечает углу в 180 градусов, точка с координатами (0;1) — углу в 90 градусов. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности. Обратите внимание,что на нашем тригонометрическом круге углы отмечены и в градусах, и в радианах.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ОХ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу.

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ОY) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (х), синус — ордината(y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1:

-1 ≤ cosα ≤ 1;

-1 ≤ sinα ≤ 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник на рисунке. Применим к нему теорему Пифагора и получим основное тригонометрическое тождество:

cos²α+ sin ²α = 1

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по х (это косинус угла) и по y (это синус угла).

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол -30° — это угол величиной в 30°, который отложили от положительного направления оси х по часовой стрелке.

Легко заметить, что

cos (-α) = cosα ;

sin (-α) = -sin α :

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 732° — это два полных оборота по часовой стрелке и еще 12° . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы вернемся в ту же точку с теми же координатами по х и по y, то значения синуса и косинуса повторяются через 360° . То есть:

cos(α + 360*n) = cosα ;

sin(α + 360*n) = sinα, где n— целое число.

То же самое можно записать в радианах:

cos (α + 2πn) = cosα ;

sin (α + 2πn) = sinα

Мы только что записали еще одно ценное свойство синуса и косинуса – периодичность. Это значит, что синус и косинус все свои значения повторяют через целое число кругов. Например, вам надо вычислить sin945° . Поскольку 945 = 360*2 + 225,

то sin945°= sin(360°+225°) = sin225° = -√2 /2

Мы просто отбросили два полных круга, а потом на тригонометрическом круге посмотрели, чему равен sin225°.

Иногда вам будут встречаться выражения: угол из первой четверти, из третьей четверти. Вот эти четверти, на рисунке:

Мы ничего не говорили о тангенсе и котангенсе. Можно на том же тригонометрическом круге изобразить еще и оси тангенсов и котангенсов, но тогда рисунок станет сложнее. Проще для каждого угла посчитать значение тангенса, разделив его синус на косинус. Мы ведь помним, что

tg α = sinα/cosα;

ctg α = cosα/sinα.

В результате получим следующую таблицу:

Как быстро запомнить значения синусов и косинусов?

Этот метод заключается в том, чтобы взять левую руку.

А точнее ладонь. Затем растопырить пальцы так, чтобы между мизинцем и большим пальцами образовался угол 90°. Тогда безымянный палец будет показывать 30°, средний – 45°, а указательный 60°. Как на рисунке.

Затем нужно пронумеровать эти пальцы в соответствии с рисунком. легко запомнить, что мизинец, который отвечает за угол 0°, становится номером 0, а далее по возрастанию.

Эти номера нужны для того, чтобы подставить их в формулу: sinx =√N /2 , где N – номер пальца.

Получаем значения синусов для углов от 0° до 90°, которые чаще всего используются в школьном курсе.

Еще раз посмотрим на тригонометрический круг. Вот сколько всего мы видим на этом рисунке:

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.

3. И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.

4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

6. Косинус – функция четная, синус – нечетная. Вот что это означает:

cos (-α) = cosα ;

sin (-α) = -sin α.

7. Тригонометрический круг помогает нам увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Это значит, что все их значения повторяются через полный круг или целое число кругов. Другими словами, их период равен 360°, то есть 2π.