Десятичные дроби
Существует особый вид дробей — десятичные дроби.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,191 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей , у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, 10 000 и т.д.
Такие дроби договорились записывать без знаменателя. Например, 27/100 = 0,27
Обратите внимание, что у десятичных дробей, как и у смешанных чисел, есть целая и дробная части:
42,53
где 42 - целая часть;
53 - дробная часть.
Запятая (её называют десятичная запятая) разделяет целую и дробную части.
Правило:
Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя обыкновенной дроби.
Т.е. если в знаменателе дроби стоит число 100, имеющее два нуля, то в записи десятичной дроби после запятой будет две цифры. Например, 27/100 = 0,27
Правило (как записать десятичную дробь)
I случай. Знаменатель обыкновенной дроби - единица с одним или несколькими нулями.
1. Запишите целую часть обыкновенной дроби. Если её нет, то запишите ноль. Если дана неправильная дробь, то выделите целую часть и запишите её.
2. Поставьте запятую.
3. Запишите числитель обыкновенной дроби таким образом, чтобы справа налево в нём было столько десятичных знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби; если цифр меньше, чем нулей, то допишите нули слева к числителю (между запятой и первой значащей (не нулевой) цифрой). Т.е. уравняйте количество цифр в числителе с количеством нулей в знаменателе.
Например,
Запишем дробь 105/10000000 в виде десятичной дроби.
Количество нулей в знаменателе равно 7, а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля: 0000105
Теперь записываем 0, ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя с "дописанными" нулями. Получаем десятичную дробь 0,0000105.
II случай. Знаменатель обыкновенной дроби не является "единицей с нулями".
1 способ.
1. Разложите знаменатель обыкновенной дроби на простые множители. Внимание! Если полученное разложение знаменателя содержит простые множители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
2. Если разложение знаменателя на простые множители содержит только 2 и 5, то умножьте числитель и знаменатель дроби на столько двоек и пятёрок, чтобы знаменатель стал "единицей с нулями".
3. Запишите дробь по алгоритму I случая.
Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда.
2 способ.
1. Разделите числитель дроби на её знаменатель уголком, предварительно убедившись, что дробь можно перевести в конечную десятичную (проверить разложение знаменателя на простые множители, см. 1 способ)
Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.
Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.
Переведем обыкновенную дробь 621/4 в десятичный вид.
Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621=621,00
Теперь разделим столбиком 621,00 на 4. Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.
Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.
В итоге мы получаем десятичную дробь 155,25, которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621/4
621/4=155,25
2. Если деление выполнено без остатка, то в ответе получите десятичную конечную дробь.
Полезный совет.
Ниже приведен список дробей со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях. Вы облегчите себе работу, если их просто выучите.
1/2=0,5; 1/4=0,25; 3/4=0,75; 1/5=0,2; 2/5=0,4; 3/5=0,6; 4/5=0,8; 1/25=0,04; 1/50=0,02
Как читать десятичные дроби.
Вы помните, как сравнивать дроби с одинаковыми числителями? Например, 1/10; 1/100; 1/1000. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше. Именно поэтому разряды дробной части расположены в таком порядке, как указано на рисунке.
Правило (как читать десятичные дроби).
Когда мы читаем десятичную дробь, то сначала называем её целую часть (число, стоящее слева от запятой), добавляем слово «целых», а потом читаем дробную часть (число, стоящее справа от запятой). В конце добавляем название самого младшего (последнего) разряда, в большинстве случаев, в родительном падеже. Например: 58,209 - пятьдесят восемь целых двести девять тысячных;
8,63 - восемь целых шестьдесят три сотых;
2,7 - две целых семь десятых;
14,0253 - четырнадцать целых двести пятьдесят три десятитысячных.
Обратите внимание, что при чтении последнего примера, ноль, стоящий на месте десятых в дробной части, не произносится!
Но не только дроби и смешанные числа можно записывать десятичными дробями.
Примеры.
1. Прочитайте десятичные дроби.
12,4 – 12 целых 4 десятых;
0,3 – 0 целых 3 десятых;
1,14 – 1 целая 14 сотых;
2,07 – 2 целых 7 сотых;
0,06 – 0 целых 6 сотых;
0,25 – 0 целых 25 сотых;
1,234 – 1 целая 234 тысячных;
1,230 – 1 целая 230 тысячных;
1,034 – 1 целая 34 тысячных;
1,004 – 1 целая 4 тысячных;
1,030 – 1 целая 30 тысячных;
0,010101 – 0 целых 10101 миллионных.
2. Перенесите запятую в каждой цифре на 1 разряд влево и прочитайте числа.
34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.
3. Перенесите запятую в каждом из чисел на 1 разряд вправо и прочитайте получившееся число.
1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.
Правило (запись натурального числа десятичной дробью)
Если в задании нам надо натуральное число записать десятичной дробью, то мы записываем число, ставим запятую, а потом записываем нули. Столько, сколько требуется для задачи. Например, 45 = 45,0 = 45,00 = 45,000
Перевод десятичной дроби в обыкновенную
Правило.
1. Целая часть десятичной дроби равна целой части обыкновенной. Поэтому запишите целую часть. Ничего не пишем, если целая часть десятичной дроби равна нулю!
2. Число, стоящее после запятой, запишите в числитель (без нулей, стоящих после запятой (справа от запятой) до первой отличной от нуля цифры). Например, 0,0025=25/......
3. Знаменатель дроби запишите в виде единицы со столькими нулями, сколько цифр стоит после запятой. Например, 0,0025=25/10000
4. Сократите полученную дробь, если это возможно.
Из истории десятичных дробей.
История десятичных дробей тесно связана с метрологией — учением о мерах. Уже во II в. до н. э. существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в. появилась десятичная система мер массы и объема. Тогда же возникло и понятие десятичной дроби.
1600 лет назад десятичные дроби использовались в Древнем Китае. Основной мерой длины там была мера ЧИ. Другие, более мелкие мерки строились таким образом, чтобы каждая последующая равнялась одной десятой части предыдущей. В этой системе значение цифры зависело от ее места, то есть система являлась позиционной. Каждый разряд имел определенное название, связанное с мерой длины.
Кроме того, китайский математик III в. Лю Хуэй рекомендовал пользоваться дробями со знаменателем 10, 100 и т.д. при извлечении квадратных корней. Он имел ввиду правило которым, впоследствии часто пользовались многие арабские и европейские математики.
Лю Хуэй
С этим правилом вы познакомитесь в старших классах. Именно оно, наряду с некоторыми другими вычислительными приемами, во многом способствовали введению в науку десятичных дробей.
Целую часть от дробной в Китае отделяли особым иероглифом – «дянь» («точка»).
Раньше в древнем Вавилоне использовали дроби похожего типа.
В III тысячелетии до нашей эры вавилоняне пользовались дробями, у которых знаменатели были степенями числа 60, то есть шестидесятеричными дробями.
Позже шестидесятеричные дроби стали использовать греческие и арабские математики. В арабских государствах некоторые весовые и денежные единицы подразделялись на 60 меньших единиц, например: 1 диргем = 60 ашир. Однако было крайне неудобно проводить вычисления над натуральными числами, записанными в десятичной системе счисления, и дробями, записанными в шестидесятеричной.
Людям помог светлый разум одного известного учёного.
Джемшид ибн Масуд ал-Каши
В XV в. полную теорию десятичных дробей разработал самаркандский астроном Джемшид ибн Масуд ал-Каши в трактате "Ключ к арифметике" (1427 г.). Он подробно изложил правила действий с десятичными дробями.
Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и в то же время удобную систему дробей, основанную на десятичной системе счисления и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби. Так, ал-Каши ввёл специальную запись для десятичных дробей: целую и дробную части он записывал в одной строке. Ал-Каши записывал десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами, а целую - чернилами другого цвета, или же дробную часть от целой отделял вертикальной чертой.
Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 150 лет после того, как эти дроби в конце XVI века были заново открыты инженером и учёным Симоном Стевиным из Фландрии.
Симоном Стевин
В 1585 году Симон Стевин написал небольшую книгу под названием «Десятая». Она состояла всего лишь из 7 страниц, однако полностью излагала теорию десятичных дробей. Запись десятичных дробей у Симона Стевина опять же отличалась от нашей. Он предложил писать цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Вместо запятой С. Стевин записывал ноль в кружке. А в других кружках или над цифрами указывал их десятичный разряд: один – десятые, два – сотые и т. д.
Симон Стевин был первым учёным, который потребовал введения десятичной системы мер и весов. Однако мечта учёного осуществилась лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.
А когда же появилась привычная нам запись десятичных дробей?
Впервые разделил запятой две части десятичной дроби итальянский астроном Маджини, и произошло это только в 1592 году.
Однако автором современной записи, то есть отделение целой части запятой, принято считать знаменитого немецкого учёного Иоганна Кеплера.
С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Кстати, на территории США до сих пор десятичные дроби пишут именно таким образом.
В 1617 году шотландским математиком Джоном Непером было предложено в качестве знака для разделения целой и дробной частей использовать как запятую, так и точку.
Джон Непер
Кстати, в связи с бурным развитием программирования точку при записи десятичных дробей используют чаще.
Десятичные дроби пробивали себе дорогу в упорной борьбе со старыми шестидесятеричными дробями. Однако, благодаря своим большим преимуществам и достоинствам десятичной системы в целом, десятичные дроби завоевали себе всё больше места. Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовало всё более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей было выполнить гораздо легче. Окончательно шестидесятеричные дроби были вытеснены десятичными только в XVIII веке.
В России учение о десятичных дробях впервые изложил в своей «Арифметике» Леонтий Магницкий в 1703 г.
Широчайшее применение десятичные дроби получили в XIX веке, после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов.