Тригонометрия

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения "великое построение" (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку", а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

В Х1-ХШ вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему "Трактат о полном четырехугольнике". Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476 гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд "Пять книг о треугольниках всех видов", сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов, где был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса "Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников ".

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу ("тригонометрический круг" или "единичная окружность"). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах русского ученого Н.И. Лобачевского.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований.

Задачи на тождественные преобразования тригонометрических выражений сводятся к четырём типам:

- упрощение тригонометрических выражений;
- нахождение функции какого-либо угла, если известна другая функция угла;
- доказательство тригонометрических тождеств;
- преобразование тригонометрических выражений в произведение (т. е. приведение к виду, удобному для логарифмирования)

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
Для преобразования тригонометрических выражений нет единого алгоритма, но обратите внимание на следующее:
- если даны функции углов, больших π/2 , то приведите их к функциям углов α∈(0; π/2);
- если дана сумма sin α ± sin β или cos α ± cos β, то её можно привести к произведению, применив соответствующие формулы;
- если углы отличаются друг от друга в два раза, то примените формулы двойного или половинного аргумента и приведите к функциям угла α∈(0; π/2)4
- если имеются тригонометрические функции в чётной степени, то чаще всего используют формулы понижения степени;
- если имеются тригонометрические функции в третьей, четвёртой, шестой, восьмой степенях, то бывает удобно начать с использования алгебраических тождеств.

Доказательство тригонометрических тождеств.

Чтобы доказать тождество примените один из пунктов:

преобразуйте левую часть тождества и приведите её к правой части (или наоборот);
перенесите правую часть тождества влево и приравняйте полученную левую часть к нулю, а затем докажите, что это действительно нуль;
преобразуйте отдельно левую и правую части так, чтобы они были равны.

Замечание! При доказательстве тождеств предполагается, что преобразования выполняются на области допустимых значений (ОДЗ) выражений, входящих в тождество.

Тригонометрия