На движение и работу

Эти задачи решаются по единому алгоритму!

Задачи на движение.

Запомните!

1. На ОГЭ/ЕГЭ для задач на движение (даже, если по окружности) используется одна формула:

s = v * t,

где s - расстояние;

v - скорость;

t - время.

2. За переменную х лучше выбирать скорость.

3. Собственная скорость судна - это скорость в неподвижной воде.

Скорость судна при движении по течению реки равна сумме собственной скорости судна и скорости течения реки (течение "помогает").

Скорость судна против течения реки равна разности собственной скорости судна и скорости течения реки (течение "мешает").

Решая задачи на движение по реке, мы считаем, что плот, в отличие от других судов, может двигаться только со скоростью течения реки. На плоту нет мотора, и на нём трудно грести вёслами.

4. При движении по окружности фраза о том, что кто-то кого-то обогнал, означает, что этот кто-то проехал на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз. А 1 круг - это длина трассы.

5. Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей! (см. раздел 5 класс/средняя скорость движения)

Она находится по специальной формуле:

v средняя = S общее/t общее

6. Задачи на движение протяжённых тел - это задачи, где поезд проходит через туннель, проезжает мимо платформы, светофора. Здесь нам необходимо учитывать длину поезда. Почему?

Если в условии задачи поезд проходит расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы — длиной самого поезда можно пренебречь. Она намного меньше расстояния между городами. В физике говорят, что поезд в этом случае можно считать материальной точкой. Если же в задаче один поезд проходит мимо другого или поезд проходит через туннель — длину поезда также надо учитывать, т. к. эти длины уже соизмеримы.

В таких задачах полезно начертить схему.

Задача 1.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х (км/ч) - скорость велосипедиста, х > 0.

Тогда х+40 (км/ч) - скорость автомобилиста

Расстояние и для велосипедиста, и для автомобилиста одно и тоже и, по условию, равно 50 км.

Время, затраченное на дорогу, вычисляется по формуле: t = s : v

Подставив известные величины, получим t₁ = 50/х и t₂ = 50/(х+40) для велосипедиста и автомобилиста, соответственно.

Составим таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

Велосипедист х 50/х 50

Автомобилист х + 40 50/(х + 40) 50

Определим, чьё время в пути больше - велосипедиста или автомобилиста? Очевидно, что велосипедиста. И эта разность во времени составляет 4 часа (по условию задачи).

Составим уравнение:

50/х - 50/(х + 40) = 4

В левой части уравнения приведём дроби к общему знаменателю (правую часть, пока, не трогаем):

(50*(х + 40) - 50х)/(х(х+40)) = 4

(50х + 2000 - 50х)/(х² + 40х) = 4

2000/(х² + 40х) = 4 Разделим и левую, и правую части уравнения на 4. Теперь уравнение станет проще!

500/(х² + 40х) = 1

500 = х² + 40х

х² + 40х - 500 = 0

D = b² - 4ac = 1600 + 2000 = 3600

x _1,2= (-b ± √D)/2a = (- 40 ± 60)/2

x₁ = (-40 + 60)/2 = 10 (км/ч)

х₂ = (-40 - 60)/2 < 0, не удовлетворяет ОДЗ, скорость не может быть отрицательным числом

Ответ: скорость велосипедиста 10 км/ч.

Задача 2.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х (км/ч) - скорость велосипедиста из пункта А в пункт В (туда), х > 0.

Тогда х + 3 (км/ч) - скорость велосипедиста в обратном направлении

Расстояние в обе стороны одинаковое и равно, по условию задачи, 154 км.

Составим таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

Туда х 154/х 154

Обратно х + 3 154/(х + 3) 154

Время в пути складывается из времени езды (т. е. когда велосипедист крутил педали) и времени, затраченного га остановку (по условию, 3 часа). Т. е. время, затраченное только на езду (без остановок) при движении из А в В больше на 3 часа, чем в обратном направлении.

Составим уравнение:

154/х - 154/(х + 3) = 3

(154х + 154*3 - 154х)/(х(х+3)) = 3

154*3/(х² +3х) = 3 Разделим левую и правую части уравнения на 3.

154/(х² +3х) = 1

154 = х² +3х

х² +3х - 154 = 0

D = b² - 4ac = 9 + 616 = 625

х_1,2 = (-b ± √D)/2a = (- 3 ± 25)/2

х₁ = (-3 + 25)/2 = 11 (км/ч)

х₂ = (-3 - 25)/2 < 0, не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 11 км/ч скорость велосипедиста на пути из А в В.

Задача 3.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сначала переведём минуты в часы, т. к., по условию, требуется найти скорость в км/ч.

10 минут = 1/6 часа

2 минуты = 1/30 часа

3 минуты = 1/20 часа

Пусть скорость велосипедиста х (км/ч)

Пусть скорость мотоциклиста y (км/ч)

В первый раз мотоциклист догнал велосипедиста через 2 минуты, т. е . через 1/30 часа после старта. До этого велосипедист был в пути 12 минут (10 мин + 2 мин), т. е. 1/5 часа.

Составим таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

Велосипедист х 1/5 х/5

Мотоциклист y 1/30 y/30

Оба проехали одинаковые расстояния, т. е. х/5 = y/30

Затем мотоциклист во второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 3 минуты, т. е. через 1/20 часа после первого обгона.

Составим ёщё одну таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

Велосипедист х 1/20 х/20

Мотоциклист y 1/20 y/20

Каково теперь расстояние, которое они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит он проехал на один круг больше. Один круг - это 5 км (по условию).

Запишем второе уравнение:

y/20 - x/20 = 5

Решим получившуюся систему уравнений:

Ответ: скорость мотоциклиста 120 км/ч.

Задача 4.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х (км/ч) - скорость течения реки, х > 0

Тогда 15 + х (км/ч) - скорость теплохода по течению реки (течение "помогает")

15 - х (км/ч) - скорость теплохода против течения реки (течение "мешает")

Составим таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

По течению 15 + х 200/(15+х) 200

Против течения 15 - х 200/(15-х) 200

В пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. 10 часов из этого времени длилась стоянка, следовательно, 30 часов теплоход был в пути (40 - 10 = 30 ч), т. е. плыл сначала по течению, затем - против течения.

Следовательно,

200/(15 + х) + 200/(15 - х) = 30

Разделим обе части уравнения на 10 (оно станет проще):

20/(15 + х) + 20/(15 - х) = 3

20(15-х)/(225-х²) + 20(15+х)/(225-х²) = 3

20*15*2/(225-х²) = 3

Разделим обе части уравнения на 3.

20*5*2/(225-х²) = 1

200 = 225 - х²

х² = 25

х = 5, т. к. скорость течения положительна.

Ответ: скорость течения реки 5 км/ч.

Задача 5.

Баржа в 10 : 00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Решение:

Пусть х (км/ч) - скорость течения реки, х >0

Тогда 7 + х (км/ч) - скорость баржи по течению

7 - х (км/ч) - скорость баржи против течения

Составим таблицу:

v, км/ч t, ч. s, км

По течению 7 + х 15/(7 + х) 15

Против течения 7 - х 15/(7 - х) 15

Сколько времени плыла баржа?

Из 16 отнимаем 10 и ещё 1 час 20 мин (стоянки).

Переведём 1 час 20 мин в часы: 1 ч. 20 мин = 1 1/3 ч.

Следовательно, баржа плыла 16 - 10 - 1 1/3 = 4 2/3

Составим уравнение:

15/(7 + х) + 15/(7 - х) = 4 2/3

Число 4 2/3 в правой части уравнения представим в виде неправильной дроби: 4 2/3 = 14/3

15/(7 + х) + 15/(7 - х) = 14/3

15(7 - х)/(49 - х²) + 15(7 + х)/(49 - х²) = 14/3

15*7*2/(49 - х²) = 14/3

30*7 = 14(49 - х²)/3

Работать с дробными коэффициентами неудобно.

Если разделить обе части уравнения на 14 и умножить на 3, оно станет проще:

45 = 49 - х²

х² = 4

х = 2, т. к. скорость течения положительна.

Ответ: скорость течения 2 км/ч.

Задача 6.

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвёртый раз поравняется с часовой?

Решение:

За один час минутная стрелка проходит 1 круг, т. е. скорость минутной стрелки 1 (круг/ч.)

За этот же час часовая стрелка проходит 1/12 круга, т. е . скорость часовой стрелки 1/12 (круг/ч.)

Составим таблицу:

v, круг/ч t, ч s, круг.

Минутная стрелка 1 t 1*t

Часовая стрелка 1/12 t 1/12 * t

Найдём время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Вспомните циферблат механических часов! Как первоначально будут стоять часовая и минутная стрелки на окружности в 8 часов? Минутная будет указывать на число 12 и, соответственно, располагаться вертикально. А часовая - на число 8. Т. е. с самого начала между стрелками будет расстояние в 2/3 круга (т. к. циферблат поделён на 12 равных частей (1 часть - это расстояние между соседними числами, указывающими часы), то 8 частей из 12 частей (для часовой стрелки) равно 8/12 = 2/3).

Следовательно, минутная стрелка пройдёт на 2/3 круга больше, поэтому уравнение будет таким:

1*t - 1/12 * t = 2/3

t = 8/11 часа

Итак, в первый раз стрелки поравняются через 8/11 часа.

Пусть во второй раз они поравняются через время y.

Минутная стрелка пройдёт за это время расстояние 1*y (оборотов)

Часовая стрелка пройдёт за это же время расстояние 1/12 * y (оборотов)

Но при этом минутная стрелка пройдёт на 1 оборот больше (вспомните механические часы).

Запишем ещё одно уравнение:

1 * y - 1/12 * y = 1

y = 12/11 часа.

Итак, через 12/11 часа стрелки поравняются во второй раз.

Ещё через 12/11 часа стрелки поравняются в третий раз.

Ещё через 12/11 часа стрелки поравняются в четвёртый раз.

Старт был в 8:00. Найдём через какое время от начала движения стрелки поравняются в четвёртый раз.

8/11 + 12/11 + 12/11 + 12/11 = 44/11 = 4

Стрелки поравняются в четвёртый раз через 4 часа, т. е. 240 минут (4 ч *60 мин. =240 мин.).

Ответ: стрелки поравняются в четвёртый раз через 240 минут.

Задача 7.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 370 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

В задаче не указано, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Известно только, что оно было одинаковым в обе стороны, туда и обратно. В подобных ситуациях расстояние принимают за 1.

Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно 1/30, а время, затраченное на полёт, равно 1/370.

Общее время движения равно 1/30 + 1/370 = (37 + 3)/(3*370) = 40/(3*370) = 4/111

Общее расстояние равно 1 + 1 = 2

Средняя скорость равна 2 : 4/111 = 55,5 (км/ч)

Ответ: средняя скорость 55,5 км/ч.

Решение:

36 секунд, за которые поезд проезжает мимо лесополосы, - это время от момента, когда голова поезда поравнялась с началом лесополосы, до момента, когда хвост поезда поравнялся с концом лесополосы. За это время поезд проезжает расстояние, равное сумме собственной длины и длины лесополосы.

Переведем 36 секунд в часы. 36 (с.) = 36/60 (мин.) = 36/3600 (ч.) = 1/100 (ч.)

За это время поезд проехал s = v * t = 80 * 1/100 = 0,8 (км) = 800 (м)

Длина поезда: l поезда = s - l лесополосы = 800 - 500 = 300 (м)

Ответ: 300 м.

Решение:

Решим задачу в системе отсчета, связанную с головой пассажирского поезда. Представим, что мы находимся в кабине машиниста неподвижного поезда, а мимо нас проносится скорый поезд. Скорость, с которой один поезд движется относительно другого (скорость сближения), равна v сбл = v1 + v2 = 60 + 30 = 90 (км/ч)

Тогда 38 секунд, за которые движущийся поезд проезжает мимо неподвижного, - это время от момента, когда голова первого поезда поравнялась с хвостом второго, до момента, когда хвост первого поезда поравнялся с головой второго (смотри рисунок) За это время скорый поезд проезжает расстояние, равное сумме длин двух поездов.

Переведем 38 секунд в часы: 38 (с) = 38/60 (мин) = 38/3600 (ч.) = 19/1800 (ч)

За это время поезд проехал s = v * t = 90 * 19/1800 = 0,95 (км) = 950 (м)

l 1поезда = s - l 2-ого поезда = 950 - 400 = 550 (м)

Ответ: 550 м.

Задача 10.

Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 56 и 52 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 15 секунд. Найдите длину второго поезда. Ответ выразите в метрах.

Решение:

Если пассажир находится в первом поезде, то в его системе отсчета второй поезд движется навстречу со скоростью, равной сумме скоростей поездов. Иначе она называется «скорость сближения», и она равна v сбл.= v1 + v2 = 56 + 52 = 108 (км/ч)

Переведем эту скорость в метры/минуту: 108 (км/ч) = 108*1000/60 = 1800 (м/мин)

Мы получили, что со скоростью 1800 (м/мин) мимо пассажира первого поезда проходит весь второй поезд. По условию, это происходит за 15 (с) = 1/4 (мин)

Длина второго поезда равна 1800 * 1/4 = 450 (м)

Ответ: 450 м.

Решение:

Переведем минуты в часы: 15 (мин) = 15/60 = 1/4 (ч)

Пусть v1 и v2 — скорости первого и второго сухогрузов. Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с первым сухогрузом. Представьте, что вы находитесь на нем и видите, как второй сухогруз догоняет и обгоняет ваш корабль со скоростью v = v2 - v1

Расстояние, пройденное вторым сухогрузом, — это сумма расстояний от носа второго сухогруза до кормы первого, длины первого сухогруза, расстояния от его носа первого до кормы второго и длины второго (см. рисунок).

l = 800 + 140 + 60 + 1000 = 2000 (м) = 2 (км)

Воспользуемся формулой: s = v * t

2 = v * 1/4

v = v2 - v1 = 8 (км/ч)

На 8 километров в час скорость второго сухогруза больше скорости первого.

Ответ: 8 км/ч.

Задачи на работу.

Запомните!

1. На ОГЭ/ЕГЭ для задач на работу используется одна формула:

А = р * t,

где А - работа;

р - производительность (эта величина по смыслу очень близка к скорости, это работа в единицу времени);

t - время.

2. Если работают два художника, два рабочих, два завода, две трубы и т. д., то их производительности складываются.

р = р1 + р2 (если работают двое)

3. За переменную х лучше выбирать производительность.

4. Если объём работы не важен, и в задаче нет данных, позволяющих его найти, то работа принимается за 1.

Например, построен дом (один), написана книга (одна). Но если речь идёт о количестве кирпичей, булочек, страниц, то работа равна этому количеству.

Задача 12.

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение:

Пусть х - производительность второго рабочего (то, что спрашивается в задаче), х > 0

Тогда (х+1) - производительность первого рабочего (он делает на 1 деталь в час больше)

Время, затраченное вторым рабочим на изготовление 110 деталей, равно 110/х (ч.)

Время , затраченное первым рабочим на изготовление 110 деталей, равно 110/(х+1) ч.

Составим таблицу:

р, дет/час. t, час. А, дет.

1-ый рабочий (х + 1) 110/(х+1) 110

2-ой рабочий х 110/х 110

Первый рабочий выполняет заказ быстрее на 1 час, т.е. время его работы меньше на 1 час.

Составим уравнение, вычитая из большего меньшее:

110/х - 110/(х+1) = 1

х = 10 (дет/ч) - в этом уравнении корень 10 легко подобрать. Посмотрите, 110 делится и на 10, и на 11. 10 + 1 =11. К тому же 110/10 = 11 и 110/11 =10. 11 - 10 = 1.

Но можно решать и стандартным способом, через квадратное уравнение.

Ответ: 10 дет/ч. делает второй рабочий.

Задача 13.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Решение:

Пусть х — производительность первого рабочего.

Тогда y - производительность второго рабочего

В задаче ничего не сказано, что за работа, какой объём работы. Значит работу мы примем за 1.

Двое рабочих работают вместе. Т.е. их суммарная производительность (р) равна: р = р1 + р2 = х + y

Они выполнили всю работу за 12 дней. Т.е. (x + y)*12 = 1

Первый рабочий, работая отдельно, за два дня выполняет такую же часть работы, как второй за три дня. Т.е. 2x = 3y

Решим систему из двух только что составленных уравнений:

y = 2x/3

(x + 2x/3)*12 = 1

20x = 1

x = 1/20 Это означает, что первый рабочий за день делает 1/20 всей работы. Значит на выполнение всей работы ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20 дней понадобится первому рабочему на выполнение всей работы.

Задача 14.

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Решение:

Пусть производительность второй трубы - х (то, что спрашивают в задаче)

Тогда производительность первой трубы (х - 5) - по условию задачи

Составим таблицу:

р t А

1-ая труба х - 5 500/(х-5) 500 л

2-ая труба х 375/х 375 л

Составим уравнение.

Вторая труба заполняет резервуар быстрее, т. е. время её работы меньше, чем у первой.

Из большего времени вычитаем меньшее и получаем разницу:

500/(х-5) - 375/х = 10

Поделим обе части этого уравнения на 5. (Если можно упростить уравнение, обязательно делайте это, иначе получится огромный, 5-тизначный дискриминант, а калькулятором на экзамене пользоваться нельзя).

100/(х-5) - 75/х = 2

Сделаем замену: х = 5z

100/(5z - 5) - 75/5z = 2

20/(z - 1) - 15/z = 2

z = 5

Тогда х = 25

Ответ: 25 л/мин пропускает вторая труба.

Задача 15.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение:

Пусть х - производительность Игоря

Тогда y - производительность Паши

z - производительность Володи

Работу в данном случае принимаем за 1 (один забор).

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Т.е. (х + y)*9 = 1

Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов. Значит, (y + z)*12 = 1

Володя и Игорь красят этот забор за 18 часов. Т.е. (х + z)*18 = 1

Решим систему из трёх только что составленных уравнений.

Сложно решать такую систему методом подстановки. Поэтому перепишем её в другом виде:

Т.е. работая вместе, мальчики за 1 час покрасят 1/8 забора.

Значит, для покраски всего забора им необходимо 8 часов.

Ответ: за 8 часов мальчики покрасят забор, работая вместе.

Источник:

• Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика профильного уровня. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru
• Сайт компании ЕГЭ-студия. Режим доступа: https://ege-study.ru