Методы решения показательных уравнений
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента:
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями.
При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений. Методы решения показательных уравнений:
- метод уравнивания показателей;
- метод введения новой переменной;
- метод вынесения общего множителя за скобки;
- функционально-графический;
- метод почленного деления;
- метод группировки.
Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей:
- представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;
- приравниваем показатели степеней;
- решаем полученное уравнение, согласно его виду(линейное, квадратное и т.д.);
- записываем ответ.
Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:
- определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;
- вводим новую переменную;
- решаем уравнение относительно новой переменной;
- записываем ответ.
Алгоритм решения функционально - графическим методом:
- левую и правую части уравнения представить в виде функций;
- построить графики обеих функций в одной системе координат;
- найти точки пересечения графиков, если они есть;
- указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.
Метод почленного деления.
Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.
Метод группировки.
Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.