Домашнее задание

Все предыдущие домашние здания перемещены в раздел "Архив"/7 класс

При доказательстве равенства треугольников по любому признаку равенства рассуждаем и записываем доказательство следующим образом:   

план рассуждений при доказательстве равенства треугольников по первому признаку 

план рассуждений при доказательстве равенства треугольников по второму признаку 

пример оформления задачи на доказательство равенства треугольников

29 января

Аксиома параллельных прямых

В геометрии есть некий базовый фундамент, о котором люди договорились, и который мы все принимаем. Этот фундамент называется системой основных понятий и аксиом. Основные понятия или базовые понятия - это такие понятия, которые не требуют определений.  Например, треугольник - это не базовое понятие. Его мы определяем как геометрическую фигуру, состоящую из.........  Отрезок - не базовое понятие. Мы его определяем как часть прямой............. А вот точка - базовое понятие. Определение точки мы не даём. То же самое прямая. Мы не даём строгого определения прямой. Но все примерно понимаем, что это такое. Разумеется, что некоторые могут понимать слово "прямая" по-другому. Но тогда  у них будет чуть другая геометрия. Мы же говорим о так называемой евклидовой геометрии, где кроме базовых понятий - точка, прямая, плоскость, есть ещё и аксиомы.  Что такое аксиома? Аксиома - это факт, который принимается нами без доказательства. Например, есть такой факт, что какую бы прямую мы не провели, есть точки, как лежащие на этой прямой, так и не лежащие на ней.  Вроде очевидно. Но с другой стороны, доказать это не так-то и просто. Или знаменитый пятый постулат Евклида, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.  Этот постулат ещё называют аксиомой параллельных прямых.  И это тот самый фундамент, о котором я говорила, на который можно опираться - базовые понятия и аксиомы, которые предложил Евклид, т. е. то, во что верят все, кто занимается евклидовой геометрией.

С другой стороны, наверное, многие знают такую фамилию, как Лобачевский. Человек, который предположил, что не обязательно одна прямая параллельная данной проходит через точку, не лежащую на данной прямой, а провёл их бесконечно много. Получил свою геометрию, потому что у него был свой фундамент. Возникла геометрия Лобачевского, абсолютно другая наука, в которой есть некоторые схожие факты, но есть и сильно отличающиеся.

Но мы вернёмся к евклидовой геометрии. 

Рядом с аксиомами могут появляться различные факты, которые мы доказываем (в отличии от аксиом). Эти факты называются по-разному.  Например, могут называться теоремами. Теорема - это некий факт, который мы формулируем и доказываем, а не просто берём на веру. Бывает факт под названием следствие.  Это та же теорема, просто следствие явно указывает, что факт следует из чего-то. 

Решение: а)через точку, не лежащую на прямой р, может проходить только одна прямая параллельная данной, поэтому три другие не параллельны прямой р, т.е. эти прямые пересекаются с прямой р. 

б) может оказаться, что ни одна прямая, проходящая через указанную точку, не параллельна прямой р, тогда все четыре прямые пересекаются с прямой р.

Ответ: три или четыре.

Доказательство: 

Прямые ВС и АС имеют общие точки с прямой АВ. По следствию аксиомы параллельных прямых, "если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую". А прямые ВС и АС пересекают прямую АВ, значит, они пересекают и прямую р, т.к. по условию задачи АВ параллельна р.      ч.т.д.

12 февраля

Решение задач по теме "Параллельные прямые"

Дано:

a II b, c - секущая

⦟АВС и ⦟BCD - накрест лежащие при прямых a и b и секущей с

ВЕ - биссектриса  ⦟АВС

СК - биссектриса ⦟BCD

Доказать:

BE II CK

Доказательство:

       ⦟EBC и ⦟BCK -накрест лежащие углы при прямых BE и KC и секущей ВС. 

       Значит, BE II KC (по признаку параллельности прямых).

       Следовательно, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

                                                                                                                                    ч.т.д.