Дистанционное обучение

24 января

Свойства логарифмов

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами, log_ab = x (a^x = b) , где b>0, a>0. a ≠ 1

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

a^log_a^b=b (1)

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Основные свойства:

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

log_a(bс) = log_ab + log_ac

2. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тому же основанию

3. Для любых действительных чисел m и n справедливы равенства:

Показатель степени логарифмируемого числа «переносим как множитель» перед логарифмом log_ab^m = mlog_ab

Показатель степени основания логарифма тоже «переносим как множитель перед логарифмом», но в виде обратного числа

log_a^m b= (1/m)log_ab

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

log_ab·log_cd = log_c b·log_a d, если a, b, c, d>0, a≠1, b≠1.

5. Важнейшая формула перехода к новому основанию:

log_ab = log_c b/log_c a

6. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

log_ab = 1/log_ba

Задание:

1. №296 (2,4), 297(2,4), 298(2,4) -учебник (с самопроверкой по ответам в конце учебника). Если не получается, то спрашиваем.

2. Самостоятельная работа (база 1-7 задания; профиль 1-10 задания) - самостоятельную работу присылаем мне на почту до 22 часов 24 января:

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2. Обратите внимание, что основание в этом случае не записывается. Здесь достаточно обозначения логарифма.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln. В этом случае также не пишут основание.

3.1 Прочитайте параграф 17 учебника.

3.2 Выполните задание № 305, 306, 307(1, 3 ,5), 308, 310, 312. Эти задания присылаете мне на почту до вечера вторника. В случае возникновения вопросов спрашиваете по почте или в обратной связи сайта.

25 января

1. № 313(1,3), №314. Обратите внимание, что при решении логарифмических уравнений надо начинать с ОДЗ (подлогарифмическое выражение должно быть положительно). Здесь, так же как в показательных уравнениях, часто вводят замену. В №313, если вы внимательно посмотрите, то увидите квадратное уравнение. если логарифм вас не смущает, то можете и не делать замены, в противном случае, лучше на некоторое время заменить логарифм какой-то буквой и решить квадратное уравнение, а затем снова вернуться к логарифму.

2. Логарифмическая функция, её свойства и график.

Свойства логарифмической функции y=log_ab с основанием больше 1:

1. Область определения: от нуля до плюс бесконечности ;

2. Множество значений: любое действительное число;

3. Функция возрастает на всей области определения;

4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Функция непрерывна;

7. Функция выпукла вверх.

8. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Еще раз подчеркну: под знаком логарифма может стоять только положительное число, а сам логарифм может принимать любые значения.

Также следует отметить, что ось "у" является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.

Свойства логарифмической функции y=log_ab с основанием от 0 до 1:

1. Область определения: от нуля до плюс бесконечности;

2. Множество значений: любое действительное число;

3. Функция убывает на всей области определения;

4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

5, Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6, Функция непрерывна;

7. Функция выпукла вниз;

8. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Посмотрите видеоурок о логарифмической функции по ссылке: https://yandex.ru/video/preview/

3. Продолжите заполнять в тетради таблицу функций, которую мы начинали, когда рассматривали степенную функцию.

4. №330 (1,3), 331(1,3,5), 332 (1,3,5 - построить в desmos.com и описать свойства функций по образцу выше), 334(1,3 - построить в desmos.com)

Выполненные задания присылаем до вечера (до 20 часов) четверга.

7 февраля

Логарифмические уравнения.

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторите еще раз определение логарифма и основные свойства (см. выше).

Также мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: log₅(15+x) = log₅3

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.

Обычно школьники запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» (на экзамене такую формулировку не употребляем!!!). Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции. На экзамене напишем: логарифмическая функция y=log₅z монотонно возрастает и каждое своё значение принимает ровно один раз. Поэтому, если log₅z1 = log₅z2, то z1=z2. Т.е. 15+х = 3

Получаем: 15 + x = 3

x = -12

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение log_ab определено при b>0, a>0. a ≠ 1.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: log₂(4-x) = 7

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Представим число 7 в виде log₂2⁷ (или же здесь можно было воспользоваться определением логарифма, т.е. решать уравнение по определению). Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: log₅(5-x) = 2·log₅ 3

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

log₅(5-x) = log₅ (3²);

log₅(5-x) = log₅ 9;

5-x = 9;

x=-4

Ответ: -4.

Любое более сложное логарифмическое уравнение решается сведением его различными методами к простейшим. Этих методов немного, большинство из них основаны на использовании определения и свойств логарифма.

При решении простейших логарифмических уравнений могут возникать линейные, квадратные, иррациональные, показательные уравнения – то есть все те уравнения, которые мы уже умеем решать.

А также помним, что как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов (системой уравнений). Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Посмотрите видеоурок по ссылке: https://www.youtube.com/watch?v=xVUBsYo6bS0

Задание.

Решите №№8-24 с листа ниже. Профиль решает все указанные номера; база - все, кроме уровней 7 и 8.

Решения и вопросы присылаете мне на почту до среды (9.02)

8 февраля

1.Решение логарифмических уравнений

Профиль решает все задания с 1 по 15, кроме 16.

№16 - на дополнительную отметку (для тех, кто умеет делить многочлен на многочлен)

База решает уравнения с 1 по 11.

Решение логарифмических уравнений и вопросы присылаете на почту до четверга (10.02)

2. Логарифмические неравенства.

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду log_ax₁ < log_ax₂ . Знак здесь может быть любой: <, >, ≥, ≤ . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание логарифма a >1 , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 0 < a < 1, знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения log_ax.

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение log_ax.

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к решению. Начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.

Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше?

Если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Ответ: x > 5

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому 15+3x>0 и одновременно 2х>0

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Наложим ОДЗ.

Получим: x > 0

Ответ: x > 0

Посмотрите видеоурок по ссылке: https://www.youtube.com/watch?v=YRCWmmL1f5A

Задание:

Решите с самопроверкой из учебника №354 (чёт), 355(чёт), 356(чёт), 357(чёт), 358(чёт) - ответы в конце учебника!