Мы с вами уже изучили несколько важных формул — квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов. Сейчас мы рассмотрим первые две формулы (квадрат суммы и квадрат разности) в несколько новом ключе. Но сначала сделайте задания, которые подведут вас к выделению полного квадрата.

ПРИМЕРЫ

В примерах ниже по два слагаемых, не хватает третьего. Ваша задача — придумать третье слагаемое так, чтобы получился полный квадрат:

1. x² + 2x

Здесь довольно просто - квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе. Что тогда второе? Если квадрат первого - это x² , то первое - это х. Дальше удвоенное произведение "х" на что? На "1". Т.е. x² + 2x·1 Значит, второе число - это 1. Тогда можно записать: x² + 2x + 1²

2. y² - 4y

Первое - это "y". Дальше стоит удвоенное произведение "y" на что? На два. Значит не хватает 2² , т.е. четырёх. Тогда можно записать: y² - 4y + 2²

3. z² + z

Здесь посложнее ситуация z² +z. Но, подождите, как удвоенное произведение может быть равно "z"? Удвоенное произведение "z" и чего-то...... Значит, наверное, одной второй (1/2). Одна вторая как раз и скомпенсирует двойку (2·1/2=1). Тогда можно записать: z² + z + ¼

4. 4t²- 12t

Здесь 4t² . В предыдущих примерах всё было очевидно - x, y, z. Что надо возвести в квадрат, чтобы получить 4t²? Видимо, 2t. Дальше вопрос, а что надо умножить на 2t, чтобы получить 12t? Видимо, шесть. Но не забудем, что произведение - то у нас удвоенное. Т.е. на самом деле, у нас 2·2t · ещё на что-то. Значит, на три. Таким образом не хватает 3² или 9 . Тогда можно записать: 4t² - 12t + 3²

5. 2x² - 5x

А что здесь делать? 2x² - это ничей не квадрат. Вы знаете какое-нибудь число, которое в квадрате даёт двойку? Пока, скорее всего, не знаете (узнаете в 8-ом классе) Поэтому, пока, мы не можем такой пример решить. Хотя, вы можете написать, например, так: 2·(x² - 2,5x) И сюда уже (в скобочки), при желании, я могу дописать следующее слагаемое, чтобы это получился полный квадрат.

А зачем мы всё это делаем? Зачем же нужно выделять полные квадраты?

Например, сейчас я докажу, что все следующие три выражения всегда положительные: x² + 2x + 4; x² - 6x + 12; x² + x + 1 Иначе говоря, если бы я решала уравнение, и в правой части был бы ноль, то я бы доказала, что эти уравнения решений никогда не имеют. Почему это так?

Смотрите:

1. x² + 2x + 4

Давайте выделим полный квадрат. Здесь x² плюс удвоенное произведение "х" на что? На единицу. Значит, x² + 2x + 4= x² + 2x + 1 + 3 = (x + 1)² + 3 Здесь, в отличии от предыдущих примеров, нельзя просто взять и дописать единицу. Надо, чтобы равенство осталось верным. Поэтому мы четвёрку разбиваем на 1 и 3. Иначе можно было написать вот так: x² + 2x + 4= x² + 2x + 1 + 4 - 1 Один добавили и один вычли, а дальше сгруппировали: x² + 2x + 1 + 4 - 1 = (x² + 2x + 1) + (4 - 1) = (x² + 2x + 1) + 3 = (x + 1)² + 3 Получили квадрат - величина неотрицательная, плюс тройка - тоже положительное число. Значит, всё это больше нуля. Таким образом, и исходное выражение было больше нуля.

В следующих выражениях та же схема:

2. x² - 6x + 12

Здесь x² , дальше удвоенное произведение -6x Чего не хватает? 3² , т.е. девятки. Тогда x² - 6x + 12 = x² - 6x + 9 + 3 = (x - 3)²+ 3 Опять же, квадрат - величина неотрицательная, плюс тройка.... Сумма - положительна.

3. x² + x + 1 = x² + x + (½)² + 1 - (½)² = (x + ½)² + ¾

Опять к квадрату прибавляется некоторое положительное число. Сумма - положительна.

Ещё три пример, которые очень напоминают то, что мы только что делали, но концовка будет совсем другая. Увидите сами.

Смотрите:

1. x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1- 1- 3 = (x² + 2x + 1) - 1 - 3= (x + 1)²- 4 Но ведь 4 - это тоже квадрат. И что мы видим перед собой? Теперь уже разность квадратов. Т.е. мы выделили квадрат суммы и пришли к разноси квадратов, которая позволяет разложить выражение на множители: (x + 1)²- 4 = (x + 1)²- 2² = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = (x - 1)(x + 3) Т.е. вот так вот, мы разложили выражение на множители, с помощью двух формул - квадрата суммы и разности квадратов. Заметьте, что исходное выражение было довольно неприятным - классической группировкой было бы очень сложно.

2. x² - 6x + 8 = x² - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)² - 1² = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)

3. x² - x- 2

А здесь, как я уже говорила, чуть сложнее выделять полный квадрат, потому что произведение не удвоенное:

x² - x- 2 = x² - 2 · x · ½ + (½)²- (½)² - 2 = (x- ½)² - 9/4 = (x - ½)² - (3/2)² = (x - ½ - 3/2)(x - ½ + 3/2) =(x - 2)(x + 1)

Как видите, дроби в конце вообще ушли. В середине были некоторые сложности. Но, тем не менее, метод всё равно работает!

Следующая задачка, которую я рассмотрю — скорее вспомогательная. Но она мне нравится, поэтому я ее разберу:

16a² + 14a + 1

Записанное выражение не является полным квадратом. Поменяйте одно из слагаемых так, чтобы это стало полным квадратом, причем постараться найти все возможные варианты:

16a² + 8a + 1

49a² + 14a + 1

(4a)² + 2 · 4a · 7/4 + (7/4)²

Есть еще четвертый вариант, попробуйте придумать его сами.

Вот еще задание, где требуется разложить на множители. Здесь тоже нужно выделить полный квадрат, но не по первым двум слагаемым, как мы делали, а по двум квадратам:

x⁴ + 4y⁴ = (x²)² + (2y²)² + 4x²y² - 4x²y² = (x² + 2y²)² - (2xy)² = (x² + 2y² - 2xy)(x² + 2y² + 2xy)

И последнее задание. Надо представить это выражение, доказав, что оно неотрицательное:

х² + 10y² + 2y + 6xy + 2 = x² + 6xy + 9y² + y² + 2y + 1 + 1 = (x + 3y)² + (y + 1)² + 1

Каждый из квадратов неотрицателен, а ещё я добавляю единицу.

Итак, сейчас мы с вами познакомились с мощнейшим приемом — выделением полного квадрата. Мы потренировались выделять этот квадрат и выяснили, что, прежде всего, это нужно для разложения на множители и для доказательства того, что какое-то выражение является неотрицательным.