Разложение на множители. Метод группировки
На прошлых уроках мы с вами раскладывали многочлен на множители методом вынесения общего множителя. Но что делать, если общего множителя нет? Давайте разбираться.
Здесь, также как и раньше, используется распределительный закон: ab+ac=a(b+c) Но дело осложняется тем, что вначале нет общего множителя во всех слагаемых, составляющих многочлен. Например:
3x+3y+x(x+y)
Как видите, здесь есть три слагаемых (3x; 3y и x(x+y)), у которых нет общего множителя. Попробуем сначала вынести 3:
3x+3y+x(x+y) = 3(x+y) + x(x+y)
Теперь появился общий множитель (x+y) — в выражении выделено жирным шрифтом!
Далее выносим общий множитель — (x + y):
3(x+y) + x(x+y) = (x+y)(3+x)
Вот и всё — получили произведение двух множителей — «одна скобка умножена на другую»
Пример 2.
2a + a(a - c) - 2c
Сначала применим переместительный закон и сгруппируем первые два слагаемых:
2a + a(a - c)- 2c = 2a - 2c + a(a - c) = (2a - 2c) + a(a - c)
Теперь вынесем 2 за скобки:
(2a - 2c) + a (a - c) = 2(a - c) + a(a - c)
Теперь выносим (a - c):
2(a - c) + a(a - c) = (а - с)(2 + а)
Пример 3.
x(x - y) + 2(y - x)
Чтобы был общий множитель, нужно поменять знаки в скобке. Получается:
x(x - y) + 2(y - x) = x (x - y) - 2(x - y) = (x - y)(x - 2)
В этих примерах нам везло, потому что какая-то часть выражения всегда была «собрана». А что если даны просто разрозненные слагаемые?
В этом случае пользуются методом группировки. Сейчас вы увидите, как это работает.
Пример 4.
3a+ab+3b+b2
Здесь четыре слагаемых.
Давайте посмотрим, не выносится ли что-нибудь за скобки.
Я могу сгруппировать так (отсюда и название метода — метод группировки):
3a+ab+3b+b2 = (3a+ab)+(3b+b2)
В каждой паре (в каждой скобке) есть свой общий множитель. Выносим его из каждой скобки. Получаем:
(3a+ab)+(3b+b2) = a(3+b)+b(3+b)
И вот тут магическим образом оказалось, что у нас появился общий множитель (3+b), который тоже можно вынести за скобки:
a(3+b)+b(3+b) = (3+b)(a+b)
Всё, получилось. Произведение множителей.
Если бы я сгруппировала по-другому, то также получила бы общий множитель. Ответ получился бы таким же.
Пример 5.
a2+3a+2a+6
Первым делом, наверное, хочется привести подобные. Но это путь в никуда, потому что, когда мы получим три слагаемых (вместо четырёх), то уже группировать по парам у нас не получится.
Группируем, а после этого выносим общий множитель:
a2+3a+2a+6 = (a2+3a)+(2a+6) = a(a+3)+2(a+3) = (a+3)(a+2)
Пример 6.
x3 + x2 + x + 1
Решаем по аналогии:
x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + 1(x + 1) = (x2 + 1)(x + 1)
Есть пара тонкостей, о которых стоит сказать. Сейчас мы разберем более трудные примеры на группировку.
Пример 7.
x2+yz+xy+xz
Как видите, если группировать подряд, как мы делали раньше, то ничего не получится. Поэтому для удобства группируем так:
x2+yz+xy+xz = x2+xy+yz+xz = (x2+xy)+(yz+xz)
Я переставила слагаемые местами, воспользовавшись переместительным законом, и сгруппировала их.
Теперь решаем:
(x2+xy)+(yz+xz) = x(x+y) + z(y+x) = (x+y)(x+z)
Пример 8
x2 - xy + 2yz - 2xz
Здесь напрашивается группировка по порядку:
x2 - xy + 2yz - 2xz = x (x - y) - 2z (x - y) = (x - y)(x - 2z)
Пример 9
x2 - 6 - az + 2xy + 3ax + 6a - 2xz
Здесь у нас целых 6 слагаемых! Что делать? Очевидно, что нужно разбивать слагаемые на две тройки или на три пары. Мне удобнее будет разбить на две тройки:
x2- 6az + 2xy + 3ax + 6ay - 2xz = x (x + 2y - 2z) + 3a (-2z + x + 2y)
Вы заметили, что порядок следования слагаемых немного другой, но скобка абсолютно одинаковая:
x (x + 2y - 2z) + 3a (-2z + x + 2y) = (x + 2y - 2z)(x + 3a)
Давайте подведём промежуточный итог. Мы выяснили, как поступать, если у нас выражение таково, что общий множитель сразу не выносится. Мы выяснили, что группировать слагаемые можно по парам, так чтобы у каждой пары был свой общий множитель. При этом слагаемые можно переставлять местами, чтобы получились подходящие нам пары с общим множителем. Мы выяснили, что иногда можно группировать слагаемые, в частности, и с вынесением минуса. А ещё мы можем группировать даже не по парам, а по тройкам, если в исходном выражении, например, 6 слагаемых, а не 4.
Пример 10.
x2 + 6х + 8
Аналогично предыдущим примерам надо разложить многочлен на множители. Но мы не можем сразу воспользоваться способом группировки, так как задан трехчлен и в нем нельзя выделить ни пары, ни тройки. Где взять ещё слагаемое? Давайте один из членов многочлена представим как два. Для того, чтобы это выполнить, обратим внимание, что 8 = 2*4, а 6 = 2*3. Поэтому можно сделать так:
x2 + 6х + 8 = x2 + (2+4)х + 8 = x2 + 2х + 4х + 8
Теперь у нас четыре слагаемых и можно выделить пары с одинаковыми множителями в каждой:
x2 + 2х + 4х + 8 = (x2 + 2х) + (4х + 8) = х(x + 2) + 4(х+ 2)
Вынесем появившийся общий множитель:
х(x + 2) + 4(х+ 2) = (x + 2)(х + 4)
Пример 11.
x2 - 5х + 6
Аналогично, представим одно из слагаемых в виде суммы, обратив внимание на то, что 6=2*3, а 5 не делится ни на что, кроме самого себя и единицы, но зато 5 можно представить как сумму 2-х и 3-х:
x2 - 5х + 6 = x2 - (2 + 3)х + 6 = x2 - 2х - 3х + 6 = (x2 - 2х) +(- 3х + 6) = х(х - 2) - 3(х - 2) = (х - 2)(х - 3)
Обратите внимание, что в примерах 10 и 11 свободный член (число без х) был составным числом, т. е. делящимся не только на 1 и на самого себя, но и имеющим ещё делители. И это было подсказкой при "разбиении" одного из членов многочлена, например, на два слагаемых. А также в выражении присутствовали все степени х, т. е. и х2, и х. Но бывает, что даже при выполнении упомянутых условий, необходимо воспользоваться другим приёмом.
Ещё приём - одновременно добавить и отнять какое-то отсутствующее в исходной записи слагаемое. А затем перегруппировать члены многочлена. Найти недостающее слагаемое бывает непросто. В некоторых вариантах к этому приёму приходится прибегать не один раз.
Пример 12.
4x2 - 9
О, так ведь это разность квадратов!
А как решить методом группировки?!
Обратите внимание, в исходном выражении нет всех степеней х, т. е. имеется только x2, а х отсутствует. Группировать пока нечего. Откуда взять недостающие слагаемые? Их точно необходимо ещё не меньше двух.
И здесь появляется ещё приём - одновременно прибавить и отнять одно и тоже слагаемое (выражение). Многочлен от этого не изменится. А затем переставить местами слагаемые, объединив их по группам. Вся сложность — найти выражение, которое надо прибавить и отнять.
Здесь, однозначно нужен х (иначе будет не разбить имеющиеся слагаемые на группы с общим множителем). Какой выбрать числовой коэффициент при х — это должно быть число, делящееся на 3 и на 2 (т.е. кратное тройке и двойке), т.к. имеющаяся в выражении 9 делится нацело только на 3, не считая 1 и самой себя, и тогда при перегруппировке как раз 3 может быть общим множителем в конкретной группе, а 4 делится на 2, и тогда двойка может быть общим множителем в группе. Отсюда появление 6х.
4x2 - 9 = 4x2 - 9 + 6х - 6х = (4x2 - 6х) + (6х - 9) = 2х(2x - 3) + 3(2х - 3) = (2х - 3)(2х + 3)
В этом примере можно также воспользоваться методом выделения полного квадрата (Разложение на множители. Метод выделения полного квадрата. ).