Звёздчатые многогранники
Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники. Термин "звёздчатый" имеет общий корень со словом "звезда", и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Давайте рассмотрим правильные звёздчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630), а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777—1859). Именно поэтому правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера - Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер.
Однако из тетраэдра, куба и октаэдра звёздчатые многогранники не получаются.
Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его рёбер приводит к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником. в результате мы получаем малый звёздчатый додекаэдр.
Малый звёздчатый додекаэдр
Сделать такой многогранник — не просто, потребуется значительная доля времени и терпения, но результат порадует глаз и удивит друзей.
Можно посмотреть видеоролик о том, как сделать подобный многогранник, без клея, по ссылке (это оригами):
https://www.livemaster.ru/topic/2890679-sozdaem-malyj-zvezdchatyj-dodekaedr-iz-bumagi
Но можно пойти традиционным путём и изготовить 12 боковых поверхностей правильных пятиугольных пирамид, сторона основания и боковое ребро которых находятся в соотношении 5 : 8 (т.е. одна сторона 5 см, другая 8 см, или одна сторона 10 см, другая -80 см и т.д.). Делая развёртку, не забыть про клапаны, т.к. по ним в дальнейшим надо будет склеить эти пирамиды между собой.
Большой додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр
Икосаэдр имеет одну звёздчатую форму. При продолжении граней икосаэдра получается большой икосаэдр.
Большой икосаэдр
Коши (1811) доказал, что все эти многогранника, открытые ранее, на самом деле являются единственно возможными правильными звёздчатыми телами. Так, к пяти правильным многогранникам, известным ещё древним учёным, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре правильных звёздчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звёздчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в рёбрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Все эти свойства отчётливо прослеживаются на моделях звёздчатых тел.
Мы рассмотрели только небольшую часть удивительного мира земных звезд - правильные звездчатые многогранники.
На гравюре Маурица Эшера "Порядок и хаос" звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей.
Однако, красота звездчатых фигур находит на удивление мало места в нашей жизни: разве что светильники, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений не додумались сделать трехмерные звезды, а ими как раз и оказались бы эти многогранники.