Геометрические головоломки

Хорошее воображение - это качество, необходимое в равной мере и математику, и поэту. Великий французский просветитель Вольтер как-то сказал: "В голове у Архимеда было гораздо больше воображения, чем в голове у Гомера".

Эти игры имеют тысячелетнюю историю. Склонность к геометрическим загадкам свойственна людям разных эпох и национальностей. Эти головоломки интересны людям любого возраста, но в первую очередь они приносят огромную пользу детям, поскольку стимулируют образное, пространственное и творческое мышление, развивают память, логику и воображение. Головоломка не просто развлечение, а развивающее пособие, направленное на развитие различных мыслительных процессов - сопоставление, обобщение, установление последовательности, определение отношений "целое"-"часть". Головоломки также развивают творческие способности, решения, которых могут быть самыми неожиданными.

Танграм.

А вы знаете, что в переводе с китайского танграм означает "семь частей мудрости" или «семь дощечек мастерства»? Это головоломка, состоящая из семи плоских фигур (квадрата, параллелограмма, двух больших одинаковых треугольников, среднего треугольника и двух маленьких одинаковых треугольников), которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое – необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе – фигуры не должны накладываться друг на друга.

Существует целый ряд версий и гипотез возникновения игры “Танграм”.

Легенда первая: версия про разбитую плитку.

Более 4000 тысяч лет назад у одного строителя из рук выпала фарфоровая плитка и разбилась на семь частей. Расстроенный, он в спешке старался ее сложить, но каждый раз получал все новые интересные изображения. Это занятие оказалось настолько увлекательным, что впоследствии квадрат, составленный из семи геометрических фигур, назвали Доской Мудрости.

Другой вариант этой же версии: однажды китайский император заказал лист стекла гигантских размеров. Пока этот хрупкий квадратный груз везли во дворец императора, лист упал, но не разбился вдребезги, а раскололся на 7 геометрически правильных фигур. При попытке сложить их вместе выяснилось, что это можно сделать множеством способов, и при этом получаются всевозможные фигуры. Создатели стеклянного листа продолжили путь, а во дворце показали императору своё изделие как удивительную головоломку. И император с восторгом принял подарок.

Легенда вторая: три мудреца придумали «Ши-Чао-Тю».

Почти две с половиной тысячи лет тому назад у немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам. Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло большее удовольствие целый день забавляться игрушками. Император призвал к себе трех мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. Три мудреца придумали "Ши-Чао-Тю"- квадрат, разрезанный на семь частей.

Легенда третья: семь книг Тана.

«В записках покойного профессора Челленора, попавших в руки автора, — утверждал Сэм Лойд (американский инженер, прославившийся как один из самых плодовитых создателей математических игр в истории), — имеются сведения о том, что семь книг о танграмах, каждая из которых насчитывает ровно тысячу фигур, были составлены в Китае более 4000 лет назад. Эти книги ныне стали столь большой редкостью, что за те сорок лет, которые профессор Челленор провел в Китае, ему лишь раз удалось видеть первое издание первого из семи томов (сохранившихся полностью) и несколько разрозненных фрагмента второго тома».

Согласно легенде Лойда, Тан был легендарным китайским мудрецом, которому его соотечественники поклонялись как божеству. Фигуры в своих семи книгах он расположил в соответствии с семью стадиями в эволюции Земли. Его танграмы начинаются с символических изображений хаоса и принципа «инь и ян». Затем следуют простейшие формы жизни, по мере продвижения по древу эволюции появляются фигуры рыб, птиц, животных и человека. По пути в различных местах попадаются изображения того, что создано человеком: орудию труда, мебель, одежда и архитектурные сооружения. Лойд часто цитирует высказывания Конфуция, философа по имени Шуфуце, комментатора Ли Хуанчжан и вымышленного профессора Челленора. Ли Хуанчжан упоминается в связи с тем, что по преданию он знал все фигуры из семи книг Тана прежде, чем научился говорить. Встречаются у Лойда и ссылки на «известные» китайские пословицы типа «Только глупец взялся бы написать восьмую книгу Тана».

Версия четвёртая: вид мебели.

Танграм, возможно, ведёт своё происхождение от яньцзиту (燕几圖) — вида мебели, появившегося во времена империи Сун. Как мебель яньцзиту претерпела некоторые изменения за время правления династии Мин, а в дальнейшем превратилась в набор деревянных фигурок для игры.

Хотя танграм часто считают изобретением глубокой древности, первое печатное упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году и написанной, очевидно, в правление императора Цзяцина.

Появление танграма на западе относят не ранее чем к началу XIX столетия, когда эти головоломки попали в Америку на китайских и американских судах. Старейший такой экземпляр, подаренный сыну американского судовладельца в 1802 году, сделан из слоновой кости и хранится в шёлковом футляре.

В Китае слово “Танграм” неизвестно, а игра имеет название "ЧИ-ЧАО-ТЮ", что в переводе "Хитроумный узор из семи частей", а термин "Танграм" впервые был использован 1848 году Томасом Хиллом, в будущем президентом Гарвардского университета. И вероятнее всего название "танграм" возникло от слова "тань" (что означает "китаец") и корня "грамма" (в переводе с греческого "буква"). На первых порах им пользовались не для развлечения, а для обучения геометрии.

Писатель и математик Льюис Кэрролл считается энтузиастом танграма. У него хранилась китайская книга с 323 задачами.

У Наполеона во время его изгнания на остров Святой Елены был набор для танграма и книга, содержащая задачи и решения. Фотографии этого набора содержатся в книге Джерри Слокума The Tangram Book.

Одним из поклонников игры был Эдгар А. По. Принадлежавший ему танграм, сделан из слоновой кости и в настоящее время хранится в Нью-Йоркской публичной библиотеке.

Известный писатель и дипломат Роберт Ван Гулик в романе “Убивающие ногтями” построил весь сюжет книги вокруг танграма.

Сфера применения танграма гораздо шире, чем просто игра. Из частей головоломки можно составлять изученные геометрические фигуры (треугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция, прямоугольник), вычислять их площади, а также сравнивать эти фигуры с помощью наложения. В 1942 г. китайские математики Фу Сян Ван и Чуань Чи Сюн показали, что из одних только деталей танграма можно сложить 13 выпуклых фигур, и опубликовали результаты в 49-м номере "Американского математического ежемесячника". Попробуйте и Вы!

Правила игры:

 В каждую собранную фигуру должны входить все семь элементов.

 При составлении фигур элементы не должны налегать друг на друга.

 Элементы фигур должны примыкать один к другому.

 Начинать нужно с того, чтобы найти место самого большого треугольника.

В результате игры получается плоскостное силуэтное изображение. Оно условно, схематично, но образ легко угадывается по основным характерным признакам предмета: его строению, пропорциональному соотношению частей и форме.

Чтобы играть в танграм, призывайте на помощь фантазию.

Создание танграма и примеры задач:

• площадь большого треугольника вдвое больше площади среднего треугольника;
• средний треугольник, квадрат и параллелограмм имеют одинаковую площадь;
• площадь среднего треугольника вдвое больше площади маленького треугольника;
• все пять треугольников равнобедренные и прямоугольные;
• у параллелограмма два угла по 45 градусов и ещё два - по 135 градусов;
• длина катета большого треугольника равна длине гипотенузы среднего треугольника;
• длина катета среднего треугольника равна длине гипотенузы маленького треугольника, диагонали квадрата и одной из сторон параллелограмма;
• длина катета маленького треугольника равна длине стороны квадрата и другой стороны параллелограмма.

Пентамино (в эту игру можно играть как с плоскими, так и с объёмными фигурами)

Среди бесчисленного множества головоломок есть несколько особенных. одна из них - пентамино. Она состоит из разных фигур, образованных из 5 квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»), отсюда и название.Это 12 фигурок. Каждая фигура обозначается латинской буквой, форму которой она напоминает. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы делайте двухсторонними.

Если соединять квадраты между собой сторонами, то можно получить фигуры, состоящие из разного числа элементов. Так, фигуры из двух квадратов называются домино. Три квадрата можно соединить двумя различными способами, образуя тримино, а из четырёх квадратов можно получить пять разных тетрамино (от этой игры и произошел известный Тетрис). Общее название для фигур подобного типа - полимино.

“Пентамино” - одна из самых популярных мировых головоломок, пик популярности пришелся на вторую половину 60-х годов. Сама игра подробно описывалась в журнале “Наука и жизнь”. В эту головоломку могут играть и дети и взрослые. Запатентовал головоломку “Pentomino” Соломон Вольф Голомб, житель Балтимора, математик и инженер, профессор университета Южная Калифорния.

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов.

Но более сложной задачей является подсчёт общего числа возможных решений. Впервые решил задачу в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей.

Элементы пентамино и примеры задач:

Римская мозаика - прекрасная пространственная задача.

Замостить поверхность плитками нетрудно, особенно если плитки имеют форму квадратов равного размера. Тем не менее задача усложняется, если плитки имеют разные размеры. "Римская мозаика" - это головоломка, созданная на основе одной из таких задач. Почему в названии головоломки ссылка на Римскую мозаику? Вероятно потому, что Римская моза́ика — тип мозаики, набираемый из мелких кубиков камней разных цветов либо смальты, малые размеры модулей позволяют достичь высокой точности и изящества изображения. Эта техника используется и в декоративно-прикладном искусстве, она существует со времён Древнего Рима.

Исходная идея.

В основе лежит геометрическая задача, которая имеет интересную историю. В этой задаче надо определить наименьшее количество квадратов произвольного размера, на которые можно разделить большой квадрат. Т. е. надо покрыть квадратную поверхность так, чтобы квадраты не накладывались друг на друга и между ними не оставалось промежутков. Это схоже с задачами на замощение стен и полов мозаичной плиткой в виде узоров.

Немного истории.

Знаменитый создатель математических головоломок Г. Дьюдени предложил задачу о лоскутном одеяле миссис Перкинс (эта задача входит в книгу "Математические забавы", изданную в 1917 г.). В этой задаче госпожа Перкинс получила в подарок на Рождество квадратное одеяло, сшитое из 169 маленьких кусочков шёлка одинакового размера. Необходимо разрезать одеяло вдоль швов на минимально возможное число квадратов. Размер этих квадратов может совпадать. Решение этой головоломки представлено на рисунке ниже.

Позднее был предложен общий вариант этой задачи под тем же названием - "Задача об одеяле миссис Перкинс". Эту головоломку также называют "Несовершенное деление квадрата". Аналогичную задачу под названием "Лоскутное одеяло" предложил американский автор Сэм Лойд в 1914 году. Тем не менее существует более ранняя головоломка, в которой также идёт речь о разделении одеяла на несколько квадратов. это ещё одна задача Дьюдени под названием "Шкатулка леди Изабель", которая впервые была опубликована в 1902 году.

Составные части.

"Римская мозаика" состоит из 21 элемента. приняв за единицу длины сторону самого маленького квадрата, получим, что размер игрового поля равен 16 х 16.

Элементы головоломки таковы:

• 4 элемента размером 1 х 1
• 4 элемента размером 2 х 2
• 4 элемента размером 3 х 3
• 4 элемента размером 4 х 4
• 4 элемента размером 5 х 5
• 1 элемент размером 6 х 6

Головоломка имеет несколько вариантов. В версии, где надо всего лишь расположить все элементы на игровом поле без каких-либо ограничений, насчитывается свыше 7000 разных решений. Но если добавить всего одно условие, согласно которому никакие два квадрата одного размера не должны соприкасаться между собой, то головоломка будет иметь всего одно решение. Его нашёл Карл Шерер в 2001 году.