Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Мы уже знаем, что, если знаменатели дробей одинаковые, то сложить эти дроби легко:
5/12 + 4/12 = (5 + 4)/12 = 9/12 = 3/4
Обратите внимание, при одинаковых знаменателях, мы складывали только числители, а знаменатель оставляли прежним. Полученный результат 9/12 - это сократимая дробь! Поэтому 9/12 обязательно надо сократить! Получилось 3/4.
А что делать, если знаменатели дробей разные?
Ведь мы знаем, что складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями!
Как сложить 4/15 + 7/10 ?
Наверное, надо попытаться сделать знаменатели дробей одинаковыми, т.е. привести их к общему (одинаковому) знаменателю.
Наименьший общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.
Давайте найдём НОК (15; 10).
Разложим знаменатели (15 и 10) на простые множители.
Вспомним таблицу умножения: 15 = 3*5 ; 10 = 2*5
Получим: 4/15 + 7/10 = 4/(3*5) + 7/(2*5)
Подчеркнём в знаменателях одинаковые множители. Это пятёрки.
Чтобы знаменатели стали равными, какого множителя не хватает в первом, а какого во втором знаменателях?
Конечно, в первом знаменателе не хватает множителя 2, а во втором 3. Эти недостающие множители называют дополнительными множителями.
Но если мы допишем множители только в знаменателях, величины дробей изменятся. Вспомним основное свойство дроби - если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, то мы получим дробь равную данной.
Поэтому числители дробей тоже надо умножить на те же недостающие (дополнительные) множители, что и знаменатели.
Получим: 4/15 + 7/10 = 4/(3*5) + 7/(2*5) = (4*2)/(3*5*2) + (7*3)/(2*5*3)
Запомните! На дополнительный множитель умножают не только знаменатель, но и числитель дроби. Тогда величина дроби останется прежней.
Следовательно, НОК (15; 10) = 2*3*5 = 30
Т.е. наименьший общий знаменатель, в данном случае, 30.
Получаем: 4/15 + 7/10 = 4/(3*5) + 7/(2*5) = (4*2)/(3*5*2) + (7*3)/(2*5*3) = 8/30 + 21/30
Мы привели дроби к наименьшему общему знаменателю. Теперь можно складывать:
4/15 + 7/10 = 4/(3*5) + 7/(2*5) = (4*2)/(3*5*2) + (7*3)/(2*5*3) = 8/30 + 21/30 = (8 + 21)/30 = 29/30
Внимание! 1. Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь необходимо перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, и не выделив целую часть, — это неоконченное решение примера!
2. Если недостающих множителей несколько, то сначала их надо перемножить и дополнительными множителями к дробям поставить уже результаты.
Особые случаи, когда вычисления можно упростить!
Если один знаменатель делится на другой.
Например, 1/3 + 4/15
Действительно, 15 : 3 = 5
Что это значит? Это значит, что НОК(3;15) = 15
Т.е. у первой дроби не хватает дополнительного множителя 5, а вторая и так хороша.
1/3 + 4/15 = 5/15 + 4/15 = 9/15 = 3/5
Если знаменатели взаимно простые числа.
Например,
3/5 + 2/7
Знаменатели дробей являются простыми числами. Они не раскладываются на простые множители. Т.е. в данном случае, для нахождения НОК знаменателей, знаменатели надо умножить друг на друга:
НОК (5; 7) = 5*7 = 35
И, следовательно, дополнительным множителем к каждой дроби будет знаменатель соседней:
3/5 + 2/7 = (3*7)/(5*7) + (2*5)/(7*5) = 21/35 + 10/35 = 31/35
2/35 + 5/6
Разложим знаменатели на простые множители:
35 = 5*7
6 = 2*3
Но среди полученных простых множителей в разложениях знаменателей нет одинаковых. Т.е. знаменатели - взаимно простые числа. В этом случае также приходится в качестве дополнительных множителей использовать знаменатели целиком.:
2/35 + 5/6 = (2*6)/(35*6) + (5*35)/(6*35) = 12/210 + 175/210 = 187/210
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Правило.
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями
найдите НОК всех знаменателей, которое и будет наименьшим общим знаменателем дробей. Для этого:
разложите знаменатели на простые множители (чтобы дальше уже не раскладывались);
подчеркните одинаковые множители;
оставшиеся разные (не подчёркнутые) множители будут дополнительными множителями к соответствующим дробям (крест-накрест);
найдите НОК всех знаменателей;
напишите к каждой дроби дополнительные множители;
умножьте числитель каждой дроби на её дополнительный множитель, а в знаменателе каждой дроби запишите общий знаменатель;
произведите сложение или вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Ещё пример.
5/12 + 14/15
Решение.
НОК (12; 15) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60
Дополнительный множитель к первой дроби (5/12) - это 5, т. к. 12 = 3*2*2 , не хватает множителя 5.
Дополнительный множитель ко второй дроби (14/15) - это 4, т. к. 15 = 3*5 , не хватает множителей 2*2 = 4
5/12 = (5*5)/60 = 25/60
14/15 = (14 * 4)/60 = 56/60
5/12 + 14/15 = 25/60 + 56/60 = 81/60 = 27/20 = 1 7/20 (одна целая семь двадцатых)
Сложение смешанных дробей
Приведите дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю.
Сложите сначала целые части, а затем дробные части с общим знаменателем.
Если дробная часть результата сложения - неправильная дробь, то выделите в ней целую часть и прибавьте к целой части (из пункта 2), получив целую часть ответа, а полученная правильная дробь будет дробной частью ответа.
Например.
39 5/6 + 12 8/9
Решение:
НОК (6; 9) = 2 *3 *3 = 18
Дополнительный множитель для дробной части первого числа равен 3, т.к. 18 : 6 =3
Дополнительный множитель для дробной части второго числа равен 2, т.к. 18 : 9 =2
Следовательно, 39 5/6 = 39 15/18
12 8/9 = 12 16/18
39 5/6 + 12 8/9 = 39 15/18 + 12 16/18 = 51 31/18 = 51 + 1 13/18 = 52 13/18
Вычитание смешанных дробей
Приведите дробные части к общему знаменателю.
Например, 5 4/5 - 2 1/3 = 5 12/15 - 2 5/15
Если дробная часть вычитаемого меньше дробной части уменьшаемого, то из целой части уменьшаемого вычтите целую часть вычитаемого, а из дробной части вычтите дробную и сложите результат.
Например, 5 12/15 - 2 5/15 = (5 - 2) + (12/15 - 5/15) = 3 + 7/15 = 3 7/15
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то займите единицу в целой части уменьшаемого, раздробите её в те же доли, что и его дробная часть, сложите её с с дробной частью уменьшаемого и вычитайте как в пункте 2.
Например,
4 5/7 - 2 20/21 = 4 15/21 - 2 20/20 = (3 + 21/21 + 15/21) - 2 20/21 = 3 36/21 - 2 20/21 = (3 - 2) + (36/21 - 20/21) = 1 16/21
Источники:
Лахова Н.В. Математика за 7 занятий. 6 класс: учеб. пособие для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 2020. - 143 с. : ил.
Михайлова Ж.Н. Алгоритмы - ключ к решению задач. 5 - 6 классы. - СПб, Издательский дом "Литера", 2019 - 288 с.