Вспоминаем:

2. При одновременном движении скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами, например, навстречу друг другу, за единицу времени. Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причем скорость первого будет 100 м/мин, а второго — 105 м/мин, то скорость сближения будет составлять 100 + 105, то есть 205 м/мин. Это значит, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения при движении навстречу друг другу, нужно сложить скорости участников движения.

Чтобы найти скорость сближения при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

3. При одновременном движении скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися, например, в противоположных направлениях. Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причем скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4+6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, при движении в противоположных направлениях, нужно сложить скорости участников движения.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

4. Суда двигаются по реке с различной скоростью. При этом они могут двигаться, как по течению реки, так и против течения. В зависимости от того, как они двигаются (по или против течения), скорость будет меняться.

Собственная скорость судна - это скорость в неподвижной воде.

Скорость судна при движении по течению реки равна сумме собственной скорости судна и скорости течения реки (течение "помогает").

Скорость судна против течения реки равна разности собственной скорости судна и скорости течения реки (течение "мешает").

Решая задачи на движение по реке, мы считаем, что плот, в отличие от других судов, может двигаться только со скоростью течения реки. На плоту нет мотора, и на нём трудно грести вёслами.

5. Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей! (см. раздел 5 класс/средняя скорость движения)

Она находится по специальной формуле:

v средняя = S общее/t общее

6. Следите за тем, чтобы все величины были выражены в одной системе единиц измерения. Если расстояния измеряются в метрах, а время в секундах, то скорость должна измеряться в метрах в секунду. Если же расстояния измеряются в километрах, а время в часах, то скорость должна измеряться в километрах в час.

Задачи:

1. Шина велосипеда лопнула в тот момент, когда велосипедист проехал 2/3 пути. На остальной путь пешком он затратил в 2 раза больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз быстрее велосипедист ехал, чем шёл?

2. Львёнок решил покататься на Черепахе, но сначала ему надо её догнать. Какое расстояние придётся пробежать львёнку, прежде чем он сможет покататься, если его скорость в 10 раз больше скорости Черепахи, а Черепаха находится в 180 метрах от Львёнка?

3. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна автомашин длиной 300 метров. Проезжая пост ДПС, машины сбрасывают скорость до 40 км/ч и далее следуют с этой скоростью. Какова будет дина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?

4. Человек шёл некоторое время со скоростью 4 км/ч, а потом в два раза больше времени со скоростью 7 км/ч. Какова средняя скорость его движения?

5. Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 ч., двигаясь со скоростью 68 км/ч. Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее на 28 км, а его скорость будет меньше прежней на 10 км/ч?

6. Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч. и 5 км/ч. На сколько км/ч пешеходы сближаются друг с другом? какое расстояние будет между ними через 3 часа?

7. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/с. определите скорость сближения машин.

8. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, а второго 15 км/ч. Через сколько часов они будут находится друг от друга на расстоянии 27 км?

9. Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого - 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

10. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

11. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут - по 1300 сажен. В какое время собака догонит зайца?

12. Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шажка, но один кошачий прыжок такой же длинный, как 10 мышиных шажков. Догонит ли кошка мышку?

13. Две ракеты вылетают навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 199919 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая – со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи?

14. Из города в деревню одновременно вышли два пешехода, один из них половину затраченного времени шел со скоростью 5км/ч, а вторую половину – со скоростью 4 км/ч. Второй же пешеход первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 5 км/ч. Кто из пешеходов придет в деревню раньше?

15. Фогг и Фикс одновременно отправились из А в В. Фогг поехал на велосипеде, а Фикс – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей, чем скорость велосипеда. На полпути автомобиль сломался и оставшуюся часть пути Фикс прошел пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто прибыл раньше: Филиас Фогг или Фикс?

16. На трассе через равные промежутки установлены фонари. Фикс проезжает от первого фонаря до четвертого за 12 сек. За какое время он проедет от первого фонаря до шестнадцатого, если не изменит скорость?

17. Когда мистер Фикс проехал половину всего пути, то лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Сколько часов он спал, если он ехал всего 18 часов?

18. Папа и сын плыли на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин. папа заметил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

19. Два поезда движутся навстречу друг другу - один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Какова длина первого поезда?

20. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости - за 3 мин. Какова длина туннеля?

21. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 часа, и что скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого.

22. Альпинист шёл 2 часа по равнине со скоростью 5 км/ч, затем 5 часов взбирался в гору со скоростью 3 км/ч. Сколько времени потратил бы альпинист на преодоление того же расстояния, если бы весь его путь пролегал по равнине?

23. От причала А к причалу В отплыли катер и лодка, причём скорость катера в 5 раз больше скорости лодки. Известно, что они плыли с постоянными скоростями, но катер сделал несколько остановок. Сколько времени катер затратил на все остановки, если он доплыл до причала В за 2 часа, а лодка за 4 часа?

24. Велосипедист, скорость которого 12 км/ч, догоняет велосипедиста, скорость которого составляет 75 % его скорости. Через 6 часов второй велосипедист догнал велосипедиста, ехавшего первым. Какое расстояние было между велосипедистами первоначально?

25. Из двух сёл одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 19,5 км/ч, а скорость второго составляет 2/3 скорости первого. Чему равно расстояние между сёлами, если велосипедисты встретились через 48 минут? На каком расстоянии друг от друга они были через 0,5 ч. после выезда? Через полтора часа?

26. Города А и В расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Первый автобус двигался со скоростью 54 км/ч, что составляет 60% скорости второго автобуса. Второй автобус догнал первый через 1 ч. 30 мин. после выезда. Чему равно расстояние между А и В? На каком расстоянии друг от друга были автобусы через 24 мин. после выезда? Через 2 ч. после выезда?

27. Из двух городов расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч. 40 мин. расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. с какой скоростью они ехали?

28. Из двух городов, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них проходил в час на 2/3 км больше другого. С какой скоростью шёл каждый из них, если через 1,2 часа после выхода им оставалось пройти до встречи 6 км?

29. Расстояние между двумя причалами равно 16,8 км. За сколько времени моторная лодка проплывёт путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 11,2 км/ч, а скорость течения реки составляет 25% скорости лодки?

30. Катер проплывает одно и то же расстояние по озеру за 7 часов, а по течению реки за 6 часов. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние?

31. Из пункта А в пункт В по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретит плот, если катер прошёл всё расстояние между А и В за 6 часов, а плот - за 30 часов?

32. Собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки. Найдите скорость теплохода против течения, если, двигаясь по течению, он прошёл 42 км за 1 ч. 15 мин.?

33. Скорость моторной лодки против течения в 4 раза больше скорости течения реки. Какое расстояние пройдёт лодка за 2 ч. 48 мин., двигаясь по течению, если по озеру она проплывает за то же время 49 км?

34.*Два пловца одновременно прыгнули с плота и поплыли в разные стороны: один - по течению, а второй - против течения реки. Через 5 минут они одновременно повернули поплыли обратно. Кто из пловцов доплывёт до плота быстрее?

35. Катер проплывает 90 км по течению за то же самое время, что 70 км против течения. Какое расстояние за это же время сможет проплыть плот?

36.* Два человека спускаются, не пропуская ступеней, по идущему вниз эскалатору. Один спускается быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек и почему?

37.* Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз пассажира за 1 минуту. Если пассажир будет шагать по эскалатору вдвое быстрее, то он спустится за 45 секунд. Сколько времени спускается пассажир, стоящий на эскалаторе?

38.* Имея полный бак топлива, катер может проплыть 72 км против течения реки или 120 км по течению. На какое наибольшее расстояние по реке он может отплыть при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь?

39. Расстояние между Атосом и Арамисом, едущими верхом по прямой дороге, равно 20 лье. За один час Атос проезжает 4 лье, а Арамис - 5 лье. Какое расстояние может быть между ними через 1 час?

40. Два пешехода движутся по прямой дороге навстречу друг другу со скоростью 5 км/ч. Первоначальное расстояние между ними - 10 км. Муха, которая летает со скоростью 14 км/ч, взлетает с первого пешехода, долетает до второго пешехода, разворачивается и, не теряя ни секунды, летит обратно к первому пешеходу, потом снова ко второму и так далее. Какое расстояние пролетит муха к тому моменту, когда пешеходы встретятся?

41.* Три друга, Андрей, Вася и Сергей, хотят преодолеть расстояние 60 км за три часа. В их распоряжении двухместный мотоцикл, скорость которого 50 км/ч. Могут ли они успеть вовремя, если скорость идущего пешком - 5 км/ч? Как им организовать движение?

42.* Из города в одном направлении выехали три автомобиля: второй через 10 минут после первого, третий - через 20 минут после второго. Через 30 минут после своего выезда третий автомобиль догнал второй, а ещё через 10 минут он догнал первый автомобиль. Через какое время после своего выезда из города второй автомобиль догнал первый?

43.* Папе, маме, сыну и бабушке надо ночью перейти через мост. У них есть только один фонарь, без которого по мосту в темноте не пройти. К несчастью, мост настолько ветхий, что выдерживает максимум двоих. Ещё одна проблема состоит в том, что они могут двигаться с разной скоростью: папа проходит весь мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, сын - за 5 минут, а бабушка - за 10 минут (двое всегда движутся со скоростью более медленного из них). Смогут ли они все перебраться через мост за 17 минут?

44. Лодка прошла по течению реки 72 км за 6 часов. Сколько времени понадобится на обратный путь, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

45. На катере инспектор Рыбнадзора плыл 5 часов по озеру, а потом ещё 2 часа по реке, которая впадает в озеро. Собственная скорость катера 18,7 км/ч. Скорость течения реки 3,2 км/ч. Какое расстояние преодолел инспектор?

46. На остров вверх по реке катер доставил туристов за 4 часа. Собственная скорость катера 24 км/ч, а скорость течения реки - 8 км/ч. сколько времени затратили туристы на обратный путь, если они возвращались по реке на плоту?

47. Переведите в другие единицы измерения:

• Спидометр на мотоцикле “Sharley” показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если мотоцикл движется со скоростью 90 км/ч, а 1 милю принять равной 1,6 км?
• Велосипедист движется со скоростью 18 км/ч. Найдите его скорость в метрах в секунду.
• Самолет преодолевает 12 километров за минуту. Выразите его скорость в метрах в секунду.
• Иван Петрович купил французский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. С какой скоростью в километрах в час движется Иван, если его спидометр показывает число 25? Считайте, что одна французская миля равна 4444 м.
• С какой скоростью шел кот, если он прошел 1 км 980 м за 2,75 часа? Ответ выразите в метрах в секунду.

48. Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

49.* Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

50. Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники:

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика (в 3-х частях). 6 класс. Ч.1: учебник. - М: Бином. Лаборатория знаний, 2019. - 112 с.
2. Чулков П.В. Арифметические задачи. - М.: МЦНМО, 2018. - 64 с.
3. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. - М: Илекса, 2018. - 106 с.
4. Малый Мехмат МГУ http://mmmf.msu.ru
5. Образовательный проект "Математика? Легко!!!" https://matematikalegko.ru/
6. Образовательный проект «Школково» https://math.shkolkovo.net/