Liczby
(na podstawie GeoGebra Help - rozwinięcie)
JednostkaOsi
JednostkaOsiX[]:Zwraca bieżącą jednostkę osi-x
JednostkaOsiY[]:Zwraca bieżącą jednostkę osi-y
Polecenia zwracają liczbę, np. h=2, oznaczającą widoczną przy danym przybliżeniu jednostkę danej osi. Liczba jest wyświetlana w widoku algebry.
Uwaga: Razem z poleceniami Róg i Ciąg, polecenia JednostkaOsi pozwalają samodzielnie dostosować osie (zobacz też rozdział Dostosowywanie osi i siatki współrzędnych).
Dwumian
Dwumian[Liczba n, Liczba r]: Oblicza wartość współczynnika dwumianu ‘n po r’ (liczba r-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego)
Przykład:
Dwumian[4,2] zwróci liczbę i=6. {0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3}
Dwumian[6,2] zwróci liczbę i=15.
ObwódKrzywej
ObwódKrzywej[Stożkowa]: Zwraca obwód krzywej stożkowej.
Uwaga: ma sens dla okręgu lub elipsy.
Przykład:
ObwódKrzywej[c]: Zwraca liczbę a widoczną w Widoku algebry
StosunekAfiniczny
StosunekAfiniczny[punkt A, punkt B, punkt C]: Zwraca stosunek afiniczny λ trzech punktów współliniowych A, B i C, gdzie C = A + λ * AB
Przykład:
StosunekAfiniczny[A,B,C] punktów A[2,2], B[6,4] i C[12,7] zwraca wartość λ=2.5.
StosunekAnharmoniczny
StosunekAnharmoniczny[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D]: Stosunek anharmoniczny λ trzech współliniowych punktów A, B, C i D, gdzie λ = StosunekAfiniczny[B, C, D] / StosunekAfiniczny[A, C, D]
Przykład:
Długość
Długość[wektor]: Długość wektora
Przykład:
Długość[u] wektora u rozpiętego na punktach A[2,2] i B[10,6] wynosi 8,94, co łatwo obliczyć jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów odległości współrzędnych x i y obu punktów. Dla ułatwienia na rysunku poprowadziliśmy dodatkowe proste b i c wyznaczające trójkąt.
Długość [punkt A]: Odległość A od początku układu współrzędnych
Przykład:
Długość[A] punktu A[2,2] na powyższej ilustracji wyniesie 2,83 (pierwiastek kwadratowy z 22+22=8), zaś punktu B[10,6] wyniesie 11,66 (pierwiastek kwadratowy z 102+62=136).
Długość [funkcja, liczba x1, liczba x2]: Długość wykresu funkcji f na przedziale [x1, x2]
Przykład:
Pokażemy tu żywy, dynamiczny przykład. Tworzymy funkcję y=0.5x2. Następnie ustawiamy dwa punkty A i B na osi X, a potem odpowiadające im punkty C i D na wykresie funkcji, mające odpowiednio współrzędne C=(x(A),0.5x(A)2) i D=(x(B),0.5x(B)2). Zauważ teraz, że dzięki temu powiązaniu przesuwanie punktów A i B po osi X będzie powodować przesuwanie odpowiadających im C i D po wykresie funkcji.
Długość wykresu funkcji w przedziale [x(A), x(B)] będzie zatem się zmieniać wraz z przesuwaniem tych punktów. W widoku algebry możesz zaobserwować wartość DługośćWykresu, która zmienia się wraz z przeciąganiem punktów. Gdy nałożysz na siebie punkty A i B, długość wyniesie oczywiście 0.
Długość [funkcja, punkt A, punkt B]: Długość wykresu funkcji f między dwoma punktami A i B na wykresie
Uwaga: Jeśli dane punkty nie leżą na wykresie funkcji, ich współrzędne-x są używane do wyznaczenie przedziału.
Przykład:
W powyższym przykładzie możemy użyć formuły Długość[0.5x2,C,D], operując tym razem nie punktami A i B na osi X, lecz C i D na wykresie funkcji. Oczywiście wynik będzie ten sam, co poprzednio.
Długość [krzywa, liczba t1, liczba t2]: Długość krzywej między parametrami t1 i t2
Przykład:
Długość [krzywa c, punkt A, punkt B]: Długość krzywej c między dwoma punktami A i B leżącymi na krzywej
Przykład:
Długość[c,A,B]
???
Długość [lista]: Długość listy (liczba elementów listy)
Przykład:
Długość[{1,5,8,9,4,5,7,8}] zwróci liczbę a=8, gdyż lista liczy 8 elementów.
Długość[list1], gdy mamy już w projekcie listę list1, zwróci liczbę wskazującą liczbę elementów.
Pole
Pole[punkt A, punkt B, punkt C, ...]: Pole wielokąta określonego przez punkty A, B, C, …
Przykład:
Pole[A,B,C,D] zwraca pole czworokąta wyznaczonego przez punkty A, B, C i D.
Pole[stożkowa c]: Pole krzywej stożkowej c (okrąg lub elipsa)
Przykład:
Pole[e] zwraca pole elipsy e
Oba powyższe polecenia ilustruje ekran:
Uwaga: żeby policzyć powierzchnię między dwoma wykresami funkcji powinieneś użyć polecenia Całka.
Odległość
Odległość[punkt A, punkt B]: Odległość między punktem A i B
Przykład:
Odległość[A,B] zwraca w widoku algebry odległość między dwoma punktami A i B.
Odległość[(1,1),(3,3)] zwraca odległość między punktami (1,1) i (3,3), czyli liczbę 2.83.
Odległość[punkt A, prosta]: Odległość punktu A od prostej.
Przykład:
Odległość[A,b] zwraca odległość między punktem A i prostą b.
Odległość[(2,2),c] zwraca odległość między punktem (2,2) i prostą b.
Odległość[prosta g, prosta h]: Odległość między prostą g i h.
Przykład:
Odległość[b,e] zwraca odległość między prostymi b i e.
Uwaga: Odległość prostych przecinających się wynosi 0. To polecenie ma sens tylko dla prostych równoległych.
Powyższe polecenia ilustruje zbiorczo poniższy ekran. Wprowadzony i zaznaczony kropkami odcinek AB pokazuje odległość między dwoma punktami A i B, odcinek AG pokazuje odległość punktu A od prostej b, natomiast odcinek GE pokazuje odległość między prostymi równoległymi b i e. Wszystkie dane są uwidaczniane w widoku algebry.
NajwiększyWspólnyDzielnik
NajwiększyWspólnyDzielnik[Liczba a, Liczba b]: Oblicza największy wspólny dzielnik liczb a i b.
Przykład:
NajwiększyWspólnyDzielnik[8,3] zwróci w widoku algebry liczbę 1.
NajwiększyWspólnyDzielnik[8,4] zwróci w widoku algebry liczbę 4.
NajwiększyWspólnyDzielnik[8,6] zwróci w widoku algebry liczbę 2.
NajwiększyWspólnyDzielnik[ListaLiczb]: Oblicza największy wspólny dzielnik listy liczb.
Przykład:
NajwiększyWspólnyDzielnik[list1] zwróci liczbę będą największym wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb znajdujących się na utworzonej wcześniej liście list1.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[Liczba a, Liczba b]: Oblicza najmniejszą wspólną wielokrotność dwu liczb a i b
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[4,5] zwraca liczbę 20.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[4,6] zwraca liczbę 12.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[4,8] zwraca liczbę 8.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[ListaLiczb]: Oblicza najmniejszą wspólną wielokrotność listy liczb.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[{4,6,8}] zwraca liczbę 24.
NajmniejszaWspólnaWielokrotność[{list1}] zwraca liczbę najmniejszą wspólną wielokrotność liczb zawartych w zdefiniowanej już wcześniej liście liczb list1.
Mod
Mod[liczba a, liczba b]: Reszta z dzielenia liczby a przez b (modulo)
Przykład:
Mod[11,4] zwróci liczbę 3.
Mod[11,5] zwróci liczbę 1.
Mod[11,6] zwróci liczbę 5.
Div
Div[liczba a, liczba b]: Całość z ilorazu liczby a przez liczbę b.
Przykład:
Div[11,4] zwróci liczbę 2.
Div[11,6] zwróci liczbę 1.
Div[11,12] zwróci liczbę 0.
DługośćOsiWielkiej
DługośćOsiWielkiej[Krzywa Stożkowa]: Zwraca długość osi wielkiej krzywej stożkowej.
??? chyba błąd w polskiej wersji programu, "oś - półoś" (ang. SemiMajorAxisLength[c])
Przykład:
DługośćOsiWielkiej[c] zwraca długość półosi wielkiej elipsy c.
DługośćOsiMałej
DługośćOsiMałej[Krzywa Stożkowa]: Zwraca długość osi małej krzywej stożkowej.
??? chyba błąd w polskiej wersji programu, "oś - półoś" (ang. SemiMinorAxisLength[c])
Przykład:
DługośćOsiMałej[c] zwraca długość półosi małej elipsy c.
Nachylenie
Nachylenie[prosta g]: Nachylenie prostej g.
Uwaga: To polecenie rysuje trójkąt nachylenia, którego wielkość może być zmieniona (zobacz Okno Dialogowe Własności).
Przykład:
Nachylenie[g] wykreśla trójkąt ilustrujący stopień nachylenia prostej g do osi X i podaje liczbę b=... będącą stosunkiem przyprostokątnych, np. dla kąta nachylenia 45 stopni wynosi b=1.
Krzywizna
Krzywizna[punkt, funkcja]: Oblicza krzywiznę funkcji w danym punkcie
Przykład:
Krzywizna[A,x^2] podaje w widoku algebry krzywiznę funkcji y=x^2 w punkcie A, np. k=0.24.
Krzywizna[punkt, krzywa]: Oblicza krzywiznę krzywej w danym punkcie
Przykład:
???
Promień
Promień[okrąg c]: Promień okręgu c
Przykład:
Promień[c] zwraca w widoku algebry długość promienia okręgu c.
Obwód
Obwód[wielokąt w]: Obwód wielokąta w
Przykład:
Obwód[poly1] zwraca obwód wielokąta poly1 - tutaj, liczba g=26.6.
Parametr
Parametr[parabola p]: Parametr paraboli p (odległość kierownicy i ogniskowej)
Przykład:
Parametr[c] zwróci w widoku algebry liczbę będącą parametrem paraboli c.
Mimośród
Mimośród[stożkowa c]: Mimośród stożkowej c
Przykład:
Mimośród[c] wyświetla w widoku algebry wartość a mimośrodu elipsy c.
Całka
Całka[funkcja, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona funkcji f na odcinku [a,b].
Uwaga: To polecenie zaznacza również obszar pomiędzy wykresem funkcji a osią OX.
Przykład:
Całka[0.2 x² + 0.15 x + 0.79, a, b] oblicza całkę e dwumianu kwadratowego na odcinku [a, b].
Całka[funkcja f, funkcja g, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona różnicy funkcji f(x) - g(x) na odcinku [a,b].
Uwaga: Polecenie to zaznacza również obszar między wykresami funkcji f i g.
Przykład:
Całka[f_1,f_2,0,2] wyświetli obszar między zdefiniowanymi już funkcjami f_1 i f_2, w przedziale [0,2].
Całka[x² - 1, x² + 2, 0, 2] wyświetli obszar między podanymi funkcjami w przedziale. Same funkcje nie zostaną wyświetlone.
Uwaga: Zobacz Całka Nieoznaczona
SumaDolna
SumaDolna[funkcja, liczba a, liczba b, liczba n]: Oblicza sumę dolną funkcji na przedziale [a, b] używając n prostokątów. Im więcej prostokątów, tym dokładniejsze przybliżenie wykresu.
Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty sumy dolnej.
Przykład:
SumaDolna[0.5 x² + 2, 0, 2, 8] zwróci w widoku algebry sumę dolną funkcji 0.5 x² + 2 w przedziale [2,8] i wyświetli 8 prostokątów.
SumaGórna
SumaGórna[funkcja, liczba a, liczba b, liczba n]: Oblicza sumę górną funkcji f na przedziale [a, b] używając n prostokątów.
Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty sumy górnej.
Przykład:
SumaGórna[0.5 x² + 2, 0, 2, 8] zwróci w widoku algebry sumę górną funkcji 0.5 x² + 2 w przedziale [2,8] i wyświetli 8 prostokątów.
Zauważ, że możesz wyświetlić w jednym projekcie SumaGórna i SumaDolna i porównać oba wykresy.
SumaTrapezowa
SumaTrapezowa[Funkcja, Liczba a, Liczba b, Liczba n trapezów]: Oblicza sumę trapezową funkcji na przedziale [a, b] używając n trapezów. Jest to liczba pośrednia między sumą górną i dolną.
Uwaga: To polecenie zaznacza również trapezy sumy trapezowej.
Przykład:
SumaTrapezowa[0.5 x² + 1, 0, 2, 8] zwróci w widoku algebry sumę trapezową funkcji 0.5 x² + 1 w przedziale [0,2] i wyświetli wykres z użyciem 8 trapezów.
Iteracja
Iteracja[Funkcja, Liczba x0, liczba n]: iteruje funkcję n razy zaczynając od danej wartości startowej x0.
Przykład:
Po zdefiniowaniu f(x) = x^2 poleceniem Iteracja[f, 3, 2] otrzymujesz następujący rezultat (32)2 = 81
Minimum i Maksimum
Min[liczba a, liczba b]: Minimum z liczb a i b
Przykład:
Min[2,5] zwróci liczbę 2.
Min[x(A), x(B)] zwróci mniejszą z aktualnych wartości obu zmiennych.
Max[liczba a, liczba b]: Maksimum z liczb a i b
Przykład:
Max[2,5] zwróci liczbę 5.
Max[x(A), x(B)] zwróci większą z aktualnych wartości obu zmiennych.
Losowe
LosowaCałkowita[Min całkowite, Max całkowite]: Generuje losową całkowitą pomiędzy min i max (włącznie)
Przykład:
LosowaCałkowita[1,100] generuje w widoku algebry liczbę z przedziału [1,100]. Za każdym razem, gdy naciśniesz kombinację Ctrl+r, zostanie wylosowana kolejna liczba.
Polecenie można np. wykorzystać do losowego wyświetlania punktu, którego współrzędne są tworzone w postaci a=LosowaCałkowita[1,10] i b=LosowaCałkowita[1,10]. Przy odświeżaniu za każdym razem powstaje inna kombinacja współrzędnych a i b punktu A.
Poniższa ilustracja pokazuje wynik wielokrotnego naciśnięcia ctrl+r i wygenerowania losowo położonych punktów w kwadracie 10x10, przy czym punkt A ma włączony ślad (w menu podręcznym).
LosowaDwumianowa[Liczba n prób, Prawdopodobieństwo p]: Generuje liczbę losową z rozkładu dwumianowego z n prób z prawdopodobieństwem p.
Przykład:
LosowaNormalna[Średnia, Odchylenie standardowe]: Generuje liczbę losową z rozkładu normalnego z zadaną średnią i odchyleniem standardowym.
Przykład:
LosowaNormalna[100,15] generuje liczbę losową z rozkładu normalnego o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15 (to akurat m.in. rozkład w teście na inteligencję w skali Wechslera). Są to liczby takie, jak 109.69, 104.4, 88.91 itd. Oczywiście częściej się pojawiają liczby bliższe średniej rozkładu - w przedziale -1 odchylenie standardowe, +1 odchylenie standardowe powinno się znaleźć ok. 68% wygenerowanych wyników, zaś w przedziale -3, +3 odchylenia nawet 99,7% (reguła trzech sigm).
Jak podaje Wikipedia, dokładne dane są następujące:
LosowaPoissona[Średnia]: Generuje liczbę losową z rozkładu Poissona z zadaną średnią.
Przykład:
LosowaPoissona[20] generuje liczbę losową z rozkładu Poissona o średniej 20.