Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

. Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара () с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 1, б. При этом .

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

, ,…, (рис. 2, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

. приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны ,

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в той же точке.

При этом или .

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или

Величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы;

величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О,

называется главным моментом системы относительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 2, б).

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции вектора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет

или, . Аналогично находятся величины M_y и M_z.

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀= ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

Главный момент пространственной системы сил: M₀ = ΣM₀(P_i) - это вектор, модуль которого находится аналогично:

где M_x , M_y , M_z - суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

1) R₀ = 0, M₀ = 0 - система сил находится в равновесии;

2) R₀ = 0, M₀ ≠0 - система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀≠0, M₀ = 0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀ , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀, R~R₀ ;

4) R₀≠0, M₀ ≠0 и R₀⊥ M₀- система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀ , ее линия действия проходит на расстоянии d = |M₀|/ R₀ от центра приведения.

5) R₀≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀неперпендикулярен главному моменту M₀- система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M_о = 0. Но векторы

и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R_x = R_y = R_z = 0 и M_x= M_y = M_z = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям

ΣX_i = 0; ΣM_x(P_i) = 0;

ΣY_i = 0; ΣM_y(P_i) = 0;

ΣZ_i = 0; ΣM_z(P_i) = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.

Вопросы для самопроверки:

- Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

- Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

- Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

- Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

- Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

- Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

- Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

- К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

- Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

- Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

- Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

- Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

- Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

- Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

- Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

- Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

- Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

- Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

- Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?