Тема1.2. Плоская система сходящихся сил

§1. Геометрический способ сложения сил

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил

(рис. 1, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 1, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе cилу F₁, от точки a откладываем вектор

, изображающий силу F₂, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу F₃ и т. д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силу F_n. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор

, изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

или

От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.

Рис.1. Система сил

Фигура, построенная на рис. 1,б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора

- в сторону противоположную.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 1, а).

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 1, а в точке А).

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы

сходятся в точке A (рис. 1, а), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил.

Примечания.

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

§2.Равновесие системы сходящихся сил

Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода:

1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то

может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой: .

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Видео-урок "Сила-вектор. Система сил"

Вопросы для самопроверки:

- Какая система сил называется сходящейся?

- Как определить равнодействующую системы сходящихся сил путем построения силового многоугольника?

- Какие силы называются сходящимися? Как определить их равнодействующую?

- Что называется главным вектором плоской системы сил?

- Что называется главным моментом плоской системы сил относительно какого-нибудь центра?

- Составьте условие равновесия для произвольной плоской системы сил.

- Составьте условие равновесия для системы сходящихся сил.

- Составьте условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

- Сформулируйте геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил.

- Что называется главным вектором системы сил?

- В чем различие между главным вектором и равнодействующей системы сил?

- Для какой системы сил равнодействующая и главный вектор совпадают?

- Назовите методы определения равнодействующей системы сходящихся сил.

- Как выражаются проекции равнодействующей системы сходящихся сил через проекции сил этой системы?

- Определите величину силы по известным проекциям

=3кН; 4кН.

- Определить модуль и направления силы, если известны ее проекции

=30H; =40H.

- Назовите необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил.

- Что такое силовой многоугольник?

- Запишите условие равновесия системы сходящихся сил в векторной форме.

- Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил в координатной форме.

- Какой из силовых многоугольников на рисунке относится к уравновешенной системе сходящихся сил?

- Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника?

- Каковы условия и каковы уравнения равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве и плоскости?

- Как сложить силы:

а) геометрически,

б) аналитически?

- Как разложить силу по двум заданным направлениям?