Movimento Circular

Introdução

Nessa seção vamos trabalhar no movimento circular usando o GeoGebra.

Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência, como a trajetória descrita por uma pessoa numa roda gigante.

Neste exercício vamos trabalhar com o GeoGebra para estudarmos o movimento em duas dimensões, movimento circular, fazendo a simulação deste movimento. Abaixo segue um passo-a-passo para a construção da simulação. Você pode criar sua simulação no site do GeoGebra (https://www.geogebra.org/classic) ou baixando e instalando o aplicativo no seu computador, atualmente existem duas versões desktop para download a 5.X e a 6.0, nós recomendamos a 5.X.

Neste exercício o objetivo é construir uma simulação para o Movimento Circular utilizando o GeoGebra, a partir do qual você desenvolverá habilidades como entender o movimento circular, lidar com algumas ferramentas do GeoGebra que podem ajuda-lo em outras aplicações.

Observe ao lado uma simulação possível do movimento circular representando um ângulo de fase e deslocamento angular.

O Estudo deste movimento nos aproxima dos fenômenos que ocorrem em ciclos, por exemplo: a sucessão de dias, em períodos de 24 horas, e ainda o passar dos messes do ano, dos minutos; são fenômenos cíclicos periódicos naturais. Pode-se perceber também o movimentos periódicos cuja trajetória é uma circunferência, exemplo disto é o deslocamento dos ponteiros de um relógio, os pneus e engrenagens de uma bicicleta em movimento, dentre tandos outros. Desta maneira estas simulações podem ilustrar e se aproximar de forma satisfatória à estes fenômenos naturais.

Simulação 1

Iniciaremos com a percepção do interface principal do GeoGebra, onde iremos construir a simulação. Desta maneira, nesta tela do GeoGebra encontra-se a Janela de Visualização onde ficará sua simulação. Na parte de baixo da tela a porta de Entrada das equações que aparecerão na Janela Algébrica. Já na parte superior encontra-se os botões de controle e de construção de elementos geométricos.

Criando a Circunferência

Acima da Janela de Visualização clicar no botão Circulo de dados de Centro e Raio. Em seguida clicar uma vez na Janela de Visualização, em seguida no ponto "A", ira abrir uma janela para determinar o raio, escrever R, automaticamente aparecerá uma janela para criar um controle deslisante, clique nesta opção e em seguida com o botão direito do mause, selecione Propriedades e em Intervalo min 0 e máx 10.

Colocar um ponto "B" sobre a circunferência clicando no botão Ponto localizado acima da Janela Algébrica em seguida sobre a circunferência. Agora traçar uma segmento de reta entre os pontos "A" e "B" clicando em Segmento localizado acima da Janela Algébrica e selecionando em seguida o ponto "A" e "B". Veja figura ao lado.

Dica: Para mexer ou selecionar os pontos, retas e a curva deve-se clicar em Mover localizado na parte de cima da Janela de Visualização.

Crie outro ponto "C" sobre a circunferência, traçar um segmento de reta entre "C" e"A".

Em Ângulo, botão acima da Janela de Visualização, clic em Ângulo e depois clicar nos segmentos "f" e "g", criando assim o ângulo.

Substituir "f" pela palavra Raio, clicando como botão esquerdo do mause em seguida com o botão direito sobre f, selecionar propriedades e em Básico, Nome escrever Raio, e em seguida Enter.

Sobre o ângulo α (alfa) iremos mudar seu caractere para φ (fi), clicando no botão direito do mause sobre α(alfa) em seguida em Básico e em Nome selecionar no incone à direita, em seguida Enter e depois OK.

Ao escrever SetorCircular no campo de Entrada ira aparecer SetorCircular(<Centro>,<Ponto>,Ponto>), fazer a substituição pelos pontos A, B e C; ficando SetorCircular(A,B,C), em seguida Enter. Nota-se na Janela de Visualização o setor da circunferência selecionado.

Para mudar os caracteres dos pontos "A" para "C = centro da circunferência", "B" para "Origem" e "C" para "P", redimensione os pontos. Clicar com o botão direito do mause no objeto que deseja ser modificado, em seguida com o botão esquerdo do mause em Propriedades e depois Básico, mude o Nome do objeto, ou a Cor, ou o Estilo e em seguida Enter. Veja a foto a baixo como ficará:

Para dar movimento ao ponto "P" deve-se primeiro ciar um Controle Deslisante com a palavra Velocidade tendo 'min 0' e 'max 10' em seguida clicar no ponto "P" com o botão direito do mause em seguida Propriedades depois em Álgebra, em velocidade substituir o número "1" pela palavra Velocidade, clicar em Enter.

Agora criar os botões Iniciar e Parar. Clicar no mesmo botão onde criamos o controle deslisante, selecionar Botão, em Legenda escrever Iniciar, Código do GeoGebra escrever IniciarAnimação[P, true], em seguida clicar em OK.

Repita o passo anterior, colocando em Legenda Parar e em Código do GeoGebra IniciarAnimação[P, false], em seguida clicar em OK.

Esta simulação proporciona o estudo do Espaço angular (φ ), ou ângulo de fase, correlacionando-o com o raio (R) e o espaço linear sobre a trajetória circular (S₁). Uma discussões pertinente sobre a medida em radianos e a relação das unidades de ângulo poderá ser bastante proveitosa. Outro fator interessante se dá ao observarmos a velocidade em relação ao ângulo (Velocidade Angular).

Obs.: Definimos "S" como sendo o Setor circular e "S₁" como o Espaço linear sobre a trajetória circular ou o caminho percorrido pelo ponto "P".

Obs.: Devemos ressaltar que a unidade de "S₁" poderá ser definida a critério do leitor, nesta simulação não determinamos a unidade do raio, por este motivo "S₁" aparece em graus. Recomendamos trabalhar com a unidade em metro (m).

Observe a seguir a arte final desta simulação na qual introduzimos a fórmula S₁=φ.R , através do comando Texto situado no mesmo comando do Controle deslisante, em editar escrever a fórmula S_1=φ.R e em seguida enter. Clicar novamente em Texto e em seguida escrever em Editar S_1= , clicar em Objetos, selecionar φ e em seguida Raio.

Simulação 2

Nesta Simulação trataremos do Deslocamento angular e Velocidade angular .

De inicio criaremos a Circunferência de raio R, clic no Circulo dados Centro e Raio, que fica situado acima da Janela de Visualização. Em seguida clicar uma vez na Janela de Visualização, em seguida no ponto "A", ira abrir uma janela para determinar o raio, escrever R, automaticamente aparecerá uma janela para criar um controle deslisante, clique nesta opção e em seguida com o botão direito do mause, selecione Propriedades e em Intervalo min 0 e máx 10.

Iremos colocar três pontos "B", "C" e "D sobre a circunferência clicando no botão Ponto localizado acima da Janela Algébrica em seguida sobre a circunferência. Agora traçar uma segmento de reta entre os pontos "A" e "B", "A" e "C", "A" e "D" clicando em Segmento localizado acima da Janela Algébrica e selecionando em seguida o par de pontos que serão os limites do segmento formado.

É necessário mudar os caracteres do pontos. Clicar com o botão direito do mause no objeto que deseja ser modificado, em seguida com o botão esquerdo do mause em Propriedades e depois Básico, mude o Nome do objeto, ou a Cor, ou o Estilo e em seguida Enter. Perceba que omitimos os rótulos de dois segmentos e da circunferência.

Para clocar os ângulos devemos, clic em Ângulo, botão acima da Janela de Visualização e depois clicar nos segmentos que se deseja criar o angulo.

Para fazer as velocidades dos pontos P₁ e P₂variar, deve-se primeiro ciar um Controle Deslisante com v_1 para o ponto P₁ , tendo 'min 0' e 'max 10' em seguida clicar no ponto P₁ com o botão direito do mause em seguida Propriedades depois em Álgebra, em Velocidade substituir o número "1" por v_1, clicar em Enter. Fazer esta operação para a velocidade de P₂.

Por definição, Deslocamento angular (Δφ) ou variação do espaço angular é definido pela diferença entre o espaço angular final (φ) e o espaço angular inicial (φ_o).

Para colocar a expressão Δφ=φ-φ_o na Janela de Visualização basta clicar no mesmo botão do Controle deslisante e em seguida em Texto, clicar na Janela de Visualização, irá abrir uma janela e em Editar escreva Δφ=φ-φ_o e depois selecione Fórmula LaTex e em seguida OK, feche a janela. Clic novamente em Texto, em Editar digite Δφ=, em seguida clic em Objetos e selecione φ, digite no teclado o sinal de diferença, novamente em Objetos selecione φ_o, selecione Fórmula LaTex, em seguida OK e feche a janela. Selecione o botão mover e na Janela Algébrica segurar Δφ com o botão esquerdo do mause arrastando para a Janela de Visualização.

A velocidade angular (ω) é obtida pela razão entre o deslocamento angular (Δφ) e o intervalo de tempo (Δt). Ou ainda, pela razão entre a velocidade linear e o raio (R) da trajetória. clicar em Texto como no passo anterior, escrever no campo Editar ω_1=\frac{v_1}{R}=\frac{ }{ }, selecione Fórmula LaTex e em seguida preencher o espaço entre os parenteses com v_1 e R, encontrados, exclusivamente, para este efeito em Texto e em Objetos. Digitar no campo de entrada ω_1= v_1/R, em seguida arrastar para a Janela de Visualização.

Repetir este passo, criar velocidade angular ω_2.

Obs. Caso não consiga determinar o símbolo da velocidade angular (ω), procure no documento Word, em seguida copiar e colar.

Agora criar os botões Iniciar e Parar para o ponto P₁e P_{2 .}Clicar no mesmo botão onde criamos o controle deslisante, selecionar Botão, aparecerá uma nova tela, em Legenda escrever IniciarP1, em Código do GeoGebra escrever IniciarAnimação[P_1, true], em seguida clicar em OK. Com o botão esquerdo do mause clique no íncone IniciarP1 que apareceu na Janela de Visualização, em seguida clic em Propriedades e em Texto, selecione pequeno.

Para criar o botão parar, repita o passo anterior, colocando em Legenda PararP1 e em Código do GeoGebra IniciarAnimação[P_1, false], em seguida clicar em OK.

Determine, utilizando o caminho descrito nos passos anteriores e construa os botões IniciarP2 e PararP2.

Esta Simulação poderá propiciar o estudo da Velocidade angular, determinar ângulos entre dois pontos, ou ainda, a percepção da velocidade angular em aproximações possíveis da velocidade angular de um satélite geoestacionário, a velocidade linear da Terra em torno do Sol. Pode-se fazer comparações entre o movimento dos ponteiros de relógio.