Системы счисления

Основные понятия

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

  • непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
  • позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

Вес разряда —

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

pi = si,

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

pi = si,

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = ansn + an-1sn-1 + ... + a2s2 + a1s1 + a0s0 + a-1s-1 + ...

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

  1. пронумеровать разряды исходного числа;
  2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
  3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

13024 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

  1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
  2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=24) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Примеры:

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=23)

Примеры:

Арифметика

Арифметические операции в позиционной системе с любым основанием производятся по одним и тем же правилам: сложение, вычитарние и умножение «в столбик», а деление — «уголком». Рассмотрим пример выполнения действий сложения и вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Сложение

Двоичная система:

В нулевом разряде: 1 + 0 = 0

В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 - 2 = 0.

Во втором разряде: 0 + 1 + 1 (перенос) = 2; Переносим в старший разряд,

В третьем разряде: 1 + 1 + 1 (перенос) = 3; В старший разряд переносим 2, здесь остается 3 - 2 = 1.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 + 10011102 = 111010012

Восьмеричная система:

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но в старший разряд переносим 8. Получаем:

342618 + 44358 = 407168

Шестнадцатеричная система:

A39116 + 853416 = 128C516

Вычитание

Двоичная система:

В нулевом разряде: 1 - 0 = 1

В первом разряде: 1 - 1 = 0.

Во втором разряде: 0 - 1; необходимо занять единицу старшего разряда. Поскольку веса разрядов двоичной системы отличаются в 2 раза: 2 + 0 - 1 = 1

Из третьего разряда занимали единицу, там остался 0, поэтому вновь нужно занимать из старшего разряда.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 - 10011102 = 10011012

Восьмеричная система:

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но, занимая из старшего разряда, получаем 8. В результате:

342618 - 44358 = 276248

Шестнадцатеричная система:

A39116 - 853416 = 1E3D16

<продолжение следует>

Типовые задания по теме «Системы счисления»

  • А-1. Перевод чисел между десятичной системой счисления и системами с другими основаниями
  • А-2. Перевод чисел между системами счисления с основаниями 2, 8 и 16
  • А-3. Арифметика позиционных систем счисления

Задания представлены в формате PDF.