Логика

Логика - одна из древнейших наук. Еще древнегреческий философ Аристотель систематизировал формы и правила мышления, разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы формальной логики.

В формальной логике предполагается, что в любом рассуждении можно разделить его содержание и форму. И, поскольку для определения правильности рассуждения важна только его форма, от содержания можно отвлечься.

Мыслить логично - значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь находить свои и чужие логические ошибки. Логичность мышления не гарантирует человеку, что он всегда будет знать истину, но позволит, по крайней мере, избежать очевидных ошибок.

Примерно также, вы, например, решая на уроке алгебры квадратное уравнение, не учитываете, что именно обозначают, входящие в него числа. И здесь тоже знание алгоритма решения не гарантирует правильность ответа в задаче (ведь ошибка могла быть допущена, к примеру, и при составлении уравнения), но резко повышает вероятность его получения.

Основные понятия логики

Понятие

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов.

Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.

Содержание понятия

Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.

Объем понятия

Объем понятия — это множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия.

Совместимые и несовместимые понятия

По объему понятия могут быть совместимыми или несовместимыми. Объемы совместимых понятий совпадают полностью или частично (т.е. существуют объекты, имеющие признаки обоих понятий). Объемы несовместимых понятий не включают ни одного общего элемента.

Отношения совместимых понятий:

• пересечение (часть элементов объема каждого понятия входит в объем другого понятия); например, «мальчик»–«болельщик»;
• тождество (полное совпадение объемов понятий);
• подчинение (объем одного понятия полностью входит в объем другого); например, «акула»–«рыба».

Отношения несовместимых понятий:

• соподчинение; например, «рыба»–«птица» (соподчинены понятию «животное»);
• противоположность (объект, не попадающий под одно понятие, может не попадать и под другое); например, «черный»–«белый»;
• противоречие (объект принадлежит объему либо одного, либо другого понятия); например, «светящийся объект»–«несветящийся объект».

Высказывание

Высказывание (суждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях.

Высказывание характеризуется своим содержанием и формой.

Умозаключение

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

С точки зрения содержания мышление может давать истинное или ложное отражение мира, формально же оно может быть логически правильным или неправильным.

Логические операции

Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки). Рассмотрим некоторые из них (в порядке приоритета при вычислении логических выражений).

Инверсия (отрицание)

Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.

В выражениях обозначается ¬A или A.

Читается «НЕ» (например, «не А»).

Конъюнкция (логическое умножение)

Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

В выражениях обозначается A ∧ B или A & B (знак может не указываться — AB).

Читается «И» (например, «А и Б»)

Дизъюнкция (логическое сложение)

Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.

В выражениях обозначается A ∨ B, иногда A + B.

Читается «ИЛИ» (например, «А или Б»)

Импликация (следование)

Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно.

В выражениях обозначается A ⇒ B или A → B.

Читается «ЕСЛИ...ТО» (например, «если А, то Б»)

Эквивалентность (равнозначность)

Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают.

В выражениях обозначается A ⇔ B или A ≡ B.

Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)

Для записи логических функций часто используют таблицы истинности.

Таблица истинности — таблица, в которой указаны значения логической функции для всех возможных комбинаций значений ее аргументов.

Запишем таблицы истинности для логических операций в соответствии с определениями, данными выше.

Законы логики

Наиболее общие связи между мыслями выражаются в формально-логических законах. При решении логических задач эти законы позволяют нам упрощать формулы, проводить умозаключения, выполнять доказательства.

Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо ложным, либо истинным. Третьего не дано.

A ∨ ¬A = 1

Закон непротиворечия

Высказывание не может противоречить самому себе.

A ∧ ¬A = 0

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать высказывание, то получится исходное.

¬¬A = A

Законы повторения (идемпотентности)

Сколько ни повторяй, значение не изменится.

A∨A = A | A∧A = A

Законы коммутативности (переместительные)

От перестановки высказываний значение не изменится.

A∨B = B∨A | A∧B = B∧A

Законы ассоциативности (сочетательные)

От порядка выполнения операций конъюнкции (дизъюнкции) значение не изменится.

(A∨B)∨C = A∨(B∨C) | (A∧B)∧C = A∧(B∧C)

Законы дистрибутивности (распределительные)

A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)

A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)

Законы поглощения

A∨(A∧B) = A | A∧(A∨B) = A

Законы де Моргана

¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B | ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B

Свойства констант

(Это, строго говоря, не отдельные законы, а непосредственные следствия из определений операций. )

A ∧ 0 = 0 | A ∨ 0 = A

A ∧ 1 = A | A ∨ 1 = 1

Доказательства законов логики производятся:

• с помощью тождественных преобразований выражений;
• с помощью построения таблиц истинности;
• с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Приложения

• Все разделы в .doc
• Все разделы в .pdf

Типовые задания по теме «Основы логики»

• Л-1. Построение таблиц истинности
• Л-2а, Л-2б. Построение логических формул по таблице истинности