[Электронный ресурс] // Учебная и научная деятельность Анисимова Владимира Викторовича.
2015. 31 декабря. URL: http://sites.google.com/site/anisimovkhv/publication/article/2015_SimpleNumber

 

Анисимов В.В.

 

ГРАФИЧЕСКИЕ ЭТЮДЫ НА ТЕМУ ПРОСТОТЫ И ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

 

Поиск правила, формулы или хотя бы полиномиального алгоритма, позволяющего определить множители любого числа или факт его простоты, уже не одно столетия занимает умы исследователей. Многочисленные попытки привели к появлению графических способов отображения чисел, говорящих о существовании некоторых (пока не найденных) зависимостей в чередовании составных и простых чисел. Наиболее известными из них являются спирали (скатерти) Улама и Сакса.

Спираль Улама (1963 г.) представляет собой последовательность натуральных чисел, выписанных по квадратной спирали с выделенными в ней простыми числами.

Рис.1. Принцип выписывания чисел в спираль Улама

Рис.2. Спираль Улама

Несмотря на хаотичность расположения простых чисел, на спирали видны их скопления вдоль некоторых диагональных линий.

Еще более впечатляюще выглядит спираль Сакса (1994 г.). Вписывание и выделение простых чисел в ней выполняется по архимедовой спирали.

Рис.3. Принцип выписывания чисел в спираль Сакса

Рис.4. Спираль Сакса

Другая вариация представления чисел заключается в их выписывании в треугольник. При этом каждая новая строка треугольника заканчивается квадратом числа.

Рис.5. Треугольное выписывание чисел вправо

Если спирали Улама и Сакса часто называют скатертями, то получаемый треугольник можно назвать салфеткой.

Рис.6. Правая треугольная салфетка

Закономерность появление в салфетке составных и простых чисел объясняется следующим рисунком.

Рис.7. Правое треугольное решето

Влево, вдоль оси , строится квадратная парабола. Из каждого узла нижней ветви параболы, соответствующего целочисленным значениям и , проводятся прямые, у которых соотношение горизонтальной и вертикальной составляющих также целочисленно () и лежит в диапазоне от 1 до . Эти прямые пересекут верхнюю ветвь параболы в узлах, также соответствующих целочисленным значениям и . Разница вертикальных координат узла, который пересекает прямая, и правого нижнего угла клетки с числом будет являться делителем этого числа.

Рис.8. Определение делителей

Так, на рис.8 для числа 18, если смотреть по оранжевой прямой, делителями будут являться числа 3 и 6, если по голубой – числа 2 и 9.

Таким образом, числа, правый нижний угол клетки которых пересекают прямые, за исключением строк (см. числа 2, 3, 5 и 11), являются составными, а задачу нахождения делителей числа можно свести к нахождению узла параболы, из которого можно провести прямую к данному числу с целочисленным соотношением горизонтальной и вертикальной составляющих, что эквивалентно решению следующих диофантовых уравнений (2) с неизвестными () и

         (1)
         (2)

где – вертикальные координаты узлов нижней и верхней ветвей параболы;
          – вертикальная и горизонтальная координаты правого нижнего угла клетки с числом :

         (3)
         (4)

[Добавлено 26.09.2018 ↓]

По аналогии с правым треугольным решетом можно определить левое треугольное решето. В этом случае выписывание, салфетка и решето будут выглядеть следующим образом.

Рис.9. Треугольное выписывание чисел влево

 

Рис.10. Левая треугольная салфетка

 

Рис.11. Левое треугольное решето

В отличие от правого решета:

- лучи проводятся по следующим правилам:

o влево с соотношением горизонтальной и вертикальной составляющих 1:1;

o вертикально;

o вправо с соотношением горизонтальной и вертикальной составляющих от 1 до ;

- исключением из составных чисел будут 2, 3, 5, 7 и 11.

Определение делителей выполняется как и в случае правого решета, включая вертикальные лучи и лучи с наклоном влево.

Рис.12. Определение делителей

На рис.12 для числа 24, если смотреть по оранжевой прямой, делителями будут являться числа 3 и 8, если по фиолетовой – числа 4 и 6.

[Добавлено 26.09.2018 ↑]

Приведенные на рис.7 и 11 два решета являются расширенной интерпретацией элегантного геометрического решета, предложенного Ю. Матиясевичем и Б. Стечкиным.

Рис.13. Геометрическое решето Матиясевича – Стечкина

Вначале строится парабола вдоль вертикальной оси, на которой отмечена последовательность натуральных чисел. Далее проводятся перпендикуляры к оси в точках, соответствующих квадратам натуральных чисел (22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, ...). Квадраты чисел на оси представляются точками на параболе (2, 3, 4, 5, ...). В завершении каждая точка левой ветви параболы соединяется со всеми точками правой ветви. Каждый из этих отрезков пересечет ось в точке, соответствующей произведению двух соединенных чисел (например, отрезок, соединяющий числа 2 и 3, пересекает ось в точке 6).

Натуральные числа (точки) на вертикальной оси, через которые не проходит ни один из таких отрезков – простые (за исключением 0 и 1).

Через концы отрезка для составного числа можно провести касательные к параболе, тогда:

- касательные пересекаются в точке с координатами (), где ;

- касательные пересекают горизонтальную ось в точках и ;

- касательные пересекают вертикальную ось в точках и ;

- линия, соединяющая делители числа , пересекает горизонтальную ось в точке .

Рис.14

Как известно, через три точки на плоскости можно провести окружность. Если провести ее через точки (), () и (), то координаты центра окружности будут в точке ().

Рис.15

Указанные на рис. 14 и 15 зависимости приводят, в лучшем случае, к диофантову уравнению второй степени, простейшим из которых будет предложенное Ферма

         (5)

где и – квадраты неотрицательных целых чисел.

При этом, и . Для нечетных (четные сводятся к нечетному путем последовательного деления на 2) уравнение (5) имеет легко определяемое решение

         (6)
         (7)

Но оно мало помогает факторизации числа , т.к. при этом решении и .

Геометрическая интерпретация уравнения (5) показана на следующем рисунке.

Рис.16

Если для точек по вертикальной оси, равных квадратам натуральных чисел , построить полуокружности с радиусами, равными также квадратам натуральных чисел (), то получится следующие симпатичное (но не практичное) геометрическое решето.

Рис.17. Геометрическое решето Ферма

Несмотря на «очевидные» закономерности распределения составных и простых чисел, судя по всему, без доказательства гипотезы Римана не обойтись.


20.01.2016 внесена правка в рис.8 и пояснения к нему.