Повышение эффективности транспортной системы региона: проблемы и перспективы :
материалы Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием (21–22 октября 2015 г.).
В 3 т. Т. 3 / под ред. С.М. Гончарука. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2015. – С. 97-107.

 

Анисимов В.В., Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г.Хабаровск

 

РЕШЕНИЕ ТОРМОЗНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

 

Предложены способы решения тормозных задач с использованием методов Рунге-Кутты.

Ключевые слова: тормозная задача, тормозной путь, допускаемая скорость, тяговые расчеты, метод Рунге-Кутты.

 

Anisimov V.V., Far Eastern State Transport University, Khabarovsk

 

THE SOLUTION OF BRAKE PROBLEMS USING RUNGE-KUTTA METHODS

 

Suggest ways to solve brake problems using Runge-Kutta methods.

Key words: brake problem, braking distances, permissible speed, traction calculations, Runge-Kutta method.

 

Режим торможения непосредственно связан с безопасностью движения поездов, в связи с чем, в тяговых расчетах отдельно выделяют раздел, посвященный решению тормозных задач. При их решении приходится иметь дело со следующими взаимосвязанными величинами:

- длиной тормозного пути Sт;

- наличием тормозных средств в поезде, определяемых расчетным тормозным коэффициентом р;

- начальной Vн и конечной Vк скоростями движения.

Из этих четырех параметров определяют один по трем заданным, используя аналитический или графический метод решения уравнения движения поезда. В зависимости от того, какую величину из четырех определяют, тормозные задачи подразделяют на три типа:

- определение длины тормозного пути Sт по заданным значениям р, Vн и Vк (как правило, Vк = 0 км/ч);

- определение допускаемой скорости движения Vн исходя из условия остановки поезда (Vк = 0 км/ч) в пределах заданного тормозного пути Sт при известном р;

- определение тормозных средств, которые нужно иметь в поезде (какой должен быть р), чтобы поезд, движущийся с заданной скоростью Vн, можно было остановить (Vк = 0 км/ч) в пределах заданного тормозного пути Sт.

Правила тяговых расчетов (ПТР) предписывают решение тормозных задач путей двумя способами: с использованием времени подготовки тормозов к действию (п.1.3.6. [1]) и по интервалам времени (метод ВНИИЖТ – табл.8-11 [1]). Рассмотрим основные положения решения тормозных задач первым способом.

По ПТР тормозной путь при расчетах принимается равным сумме подготовительного тормозного пути Sп и действительного пути торможения Sд.

Sт = Sп + Sд.     (1)

Подготовительный тормозной путь (м) определяется через скорость в начале торможения Vн (км/ч) и время подготовки тормозов к действию tп (сек)

Sп = 0.278 Vн tп.     (2)

Расчет времени подготовки тормозов к действию выполняется по формуле

,     (3)

где aSп и bSп – коэффициенты формулы, зависящие от количества осей в составе или типа тормозов;
iс – удельное сопротивление от спрямленного уклона (удельное сопротивление от уклона и кривых), кгс/т;
р – расчетный тормозной коэффициент поезда (принимается для случая экстренного торможения), тс/т;
кр – расчетный коэффициент трения колодки о колесо.

 

Расчетный коэффициент трения определяется по формуле

,     (4)

где Aкр, Bкр, Cкр, Dкр и Eкр – коэффициенты формулы расчетного коэффициента трения.

 

Для расчета действительного пути торможения Sд применяют уравнение движения поезда

,     (5)

где – ускорение и замедление поезда, км/ч2 / (кгс/т);
f – удельная равнодействующая сил, действующих на поезд, кгс/т.

 

В режиме торможения движения удельная равнодействующая сил для грузовых поездов определяется по формуле

f = –(bт + wox + iс),;     (6)

где bт – удельная тормозная сила, кгс/т;
wox – удельное основное сопротивление движению поезда в режиме холостого хода, кгс/т.

 

Удельная тормозная сила определяется по формулам

bт = 1000 тр р кр,     (7)

где тр – степень использования расчетного тормозного коэффициента (зависит от режима торможения).

 

Удельное основное сопротивление (в общем случае) определяется по формуле

wox = Aох + BохV + Cох V2,     (8)

где Aох, Bох, Cох – коэффициенты (зависят от типа подвижного состава и нагрузки на ось).

 

Для упрощения примем, что удельное сопротивление от уклона и кривых под поездом ic равно константе. Тогда уравнение движения для грузовых поездов может быть записано в следующем виде

.     (9)

Метод Рунге-Кутты относится к одношаговым методам решения дифференциальных уравнений вида y’ = f(x, y) при известном начальном значении y0 = f(x0). Суть данного метода заключается в следующем:

- задают шаг h по x;

- вычисляют величины

;     (10)

- определяют итоговое значение

.     (11)

Величины aij, bi и ci являются константами и чаше всего записываются в виде таблицы Бутчера

Таблица 1

Таблица коэффициентов

Существуют различные модификации метода Рунге-Кутты, отличающиеся друг от друга таблицами коэффициентов и имеющими разный порядок аппроксимации (точности расчетов). Это методы Бутчера, Куртиса, Хайрера и т.д. На рис.1 приведены таблицы коэффициентов для некоторых методов Рунге-Кутты. Порядок аппроксимации p для методов записан, как Op.

Рис.1. Таблицы коэффициентов методов Рунге-Кутты

Рассмотрим решение первой тормозной задачи (расчет длин тормозных путей Sт) при следующих исходных данных.

Таблица 2

Исходные данные для расчетов

Параметр Значение
поезд грузовой
, км/ч2 / (кгс/т) 120
р, тс/т 0.33
колодки чугунные:
Aкр = 0.27, Bкр = 1,
Cкр = 100, Dкр = 5, Eкр = 100
путь звеньевой
вагоны четырехосные с осевой нагрузкой 14т:
Aох = 0.7 + 8 / 14,
Bох = 0.1 / 14,
Cох = 0.0025 / 14
aSп 7
bSп 10
Vн, км/ч 80
Vк, км/ч 0

Результаты расчета длин тормозных путей по предложенной методике методом численного дифференцирования по скорости представлены в табл. 3.

Таблица 3

Длины тормозных путей грузовых поездов

Тип торможения ic, кгс/т Подготовительный
тормозной путь Sп, м
Действительный путь торможения Sд, м
классический метод Рунге-Кутты
при ∆V, км/ч
модифицированный метод Рунге-Кутты
при ∆V, км/ч
метод Бутчера
при ∆V, км/ч
5, 10, 20 40 5, 10, 20 40 5, 10, 20, 40
I ступень
(тр = 0.3)
-10 225 7.723 7.717 7.723 7.721 7.723
-5 190 3.075 3.075 3.075 3.075 3.075
0 156 1.939 1.939 1.939 1.939 1.939
5 121 1.419 1.419 1.419 1.419 1.419
10 86 1.119 1.120 1.119 1.119 1.119
II ступень
(тр = 0.5)
-10 225 2.401 2.401 2.401 2.401 2.401
-5 190 1.640 1.640 1.640 1.640 1.640
0 156 1.248 1.249 1.248 1.249 1.248
5 121 1.009 1.010 1.009 1.009 1.009
10 86 0.847 0.848 0.847 0.847 0.847
III ступень
(тр = 0.7)
-10 225 1.425 1.425 1.425 1.425 1.425
-5 190 1.118 1.118 1.118 1.118 1.118
0 156 0.921 0.921 0.921 0.921 0.921
5 121 0.784 0.784 0.784 0.784 0.784
10 86 0.682 0.682 0.682 0.682 0.682
экстренное
(тр = 1)
-10 225 0.886 0.886 0.886 0.886 0.886
-5 190 0.757 0.757 0.757 0.757 0.757
0 156 0.661 0.661 0.661 0.661 0.661
5 121 0.587 0.587 0.587 0.587 0.587
10 86 0.528 0.528 0.528 0.528 0.528

Как видно из табл.3, даже при большом шаге дифференцирования погрешность расчета длин тормозных путей минимальна.

При численном дифференцировании могут использоваться так называемые вложенные формулы Рунге-Кутты, в которых имеется два набора весовых коэффициентов bi с разными порядками аппроксимации. Один из наборов коэффициентов (как правило, с большим порядком аппроксимации) используется для расчета итогового значения yk, а второй предназначен для оценки погрешности расчетов. К числу таких методов относятся методы Ческино, Кутты-Мерсона, Рунге-Кутты-Фельберга, Дормана-Принса и др. На рис.2 приведены таблицы коэффициентов для некоторых из них. Предпоследние строки используются для оценки погрешности, последние для расчета yk.

Рис.2. Таблицы коэффициентов методов Рунге-Кутты с вложенными формулами

Рассмотрим решение второй тормозной задачи (определение допускаемой скорости Vн). Оно осложняется тем, что неизвестна скорость, при которой требуется считать подготовительный тормозной путь (она же искомая скорость Vн). Учитывая, что на шаге дифференцирования ∆S при уклонах до 15 ‰ график функции Sп(V) и при больших скоростях график функции Sд(V) близки к линейной зависимости (см. рис.3), расчет допускаемой скорости Vн можно выполнять по следующим формулам

,     (12)

Vн = V1 + (V2 - V1) * k,     (13)

где Sт – заданная длина тормозного пути;
V1 и V2 – начальная и конечная скорость на отрезке дифференцирования;
Sд1 и Sд2 – значения действительного пути торможения на отрезке дифференцирования;
Sп1 и Sп2 – значения подготовительного тормозного пути на отрезке дифференцирования.

Рис.3. Схема определения Vн

Расчет по формулам (12) – (13) выполняется в случае Sд2 + Sп2 > Sт.

Результаты расчета допускаемой скорости движения по предложенной методике методом численного дифференцирования по пути представлены в табл. 4. В дополнение к исходным данным табл.2, Sт принят равным 1200 м. Расчеты выполнялись при фиксированном шаге дифференцирования. Для методов с вложенными формулами для расчета yk (т.е. скорости) использовались последние строки с коэффициентами bi.

Большая часть погрешности при шаге дифференцирования ∆S = 250 м накапливается при низких скоростях движения. С целью устранения этого недостатка можно применить динамический шаг. Так, для многих методов Рунге-Кутты с вложенными формулами справедлива формула Холла [2].

,     (14)

где β – гарантированный множитель, обеспечивающий устойчивость численного дифференцирования;
ε – заданная точность вычислений;
hi – величина i-ого шага дифференцирования;
p – порядок аппроксимации метода.

 

Результаты расчетов с использованием формулы Холла приведены в табл. 5. Расчеты выполнены при β = 1, ε = 0.05 км/ч.

Таблица 4

Допускаемые скорости движения грузовых поездов
(шаг дифференцирования фиксирован)

Тип торможения ic, кгс/т Допускаемая скорость движения поезда Vн, км/ч
классический метод Рунге-Кутты при ∆S, м модифицированный метод Рунге-Кутты при ∆S, м метод Ческино при ∆S, м метод Кутты-Мерсона при ∆S, м метод Дормана-Принса при ∆S, м
10 50 100 250 10 50 100 250 10 50 100 250 10 50 100 250 10 50 100 250
I ступень
(тр = 0.3)
-10 39.9 40.0 40.6 49.1 39.9 39.9 40.1 44.7 39.9 40.1 41.0 52.9 39.9 39.9 40.0 41.7 39.9 39.8 39.7 39.9
-5 51.4 51.5 52.7 64.3 51.4 51.4 51.9 58.3 51.4 51.7 53.4 69.9 51.4 51.4 51.6 54.4 51.4 51.3 51.3 53.0
0 61.5 61.8 63.5 78.3 61.5 61.6 62.3 70.7 61.5 62.0 64.5 85.6 61.5 61.6 61.9 66.0 61.5 61.4 61.5 64.9
5 70.9 71.3 73.6 91.8 70.9 71.0 72.1 82.5 70.9 71.7 75.1 100.7 70.9 71.0 71.5 77.0 70.9 70.8 71.1 76.3
10 79.9 80.5 83.5 105.3 79.9 80.1 81.5 94.2 79.9 81.0 85.3 115.8 79.9 80.1 80.7 87.7 79.9 79.8 80.4 87.3
II ступень
(тр = 0.5)
-10 57.4 57.9 60.7 86.5 57.4 57.6 58.9 75.8 57.4 58.2 62.2 100.2 57.4 57.5 58.0 66.1 57.4 57.3 57.4 62.1
-5 66.0 66.7 70.3 98.9 66.0 66.3 68.0 86.5 66.1 67.1 72.3 114.0 66.0 66.2 66.9 76.2 66.0 66.0 66.3 73.5
0 74.3 75.2 79.5 111.4 74.3 74.6 76.8 97.2 74.3 75.7 82.0 127.9 74.3 74.5 75.4 86.2 74.3 74.3 74.9 84.5
5 82.4 83.6 88.7 124.0 82.4 82.9 85.5 108.0 82.4 84.2 91.6 142.0 82.4 82.6 83.8 96.3 82.4 82.4 83.3 95.2
10 90.6 92.0 97.9 136.9 90.5 91.1 94.2 119.0 90.6 92.7 101.3 156.7 90.6 90.9 92.3 106.5 90.5 90.6 91.9 106.0
III ступень
(тр = 0.7)
-10 69.4 70.6 76.8 121.6 69.4 69.9 73.2 105.0 69.5 71.3 80.2 147.6 69.5 69.6 71.0 87.9 69.4 69.4 70.1 82.7
-5 76.9 78.4 85.4 132.7 76.9 77.5 81.3 114.3 76.9 79.1 89.3 159.5 76.9 77.2 78.8 96.8 76.9 76.9 78.0 93.4
0 84.3 86.1 94.0 144.4 84.3 85.1 89.3 124.0 84.3 87.0 98.5 172.2 84.3 84.6 86.6 106.1 84.3 84.4 85.8 103.9
5 91.8 93.9 102.7 156.5 91.8 92.7 97.5 134.2 91.9 94.9 107.7 185.7 91.8 92.2 94.5 115.6 91.8 92.0 93.8 114.5
10 99.6 101.9 111.7 169.2 99.5 100.6 106.0 144.8 99.6 103.1 117.2 199.9 99.5 100.0 102.7 125.6 99.5 99.8 102.0 125.3
экстренное
(тр = 1)
-10 83.0 85.8 98.6 171.7 83.0 84.3 91.7 147.5 83.0 87.1 106.1 218.0 83.0 83.5 86.9 118.9 82.9 83.1 85.3 114.2
-5 89.6 92.8 106.5 182.1 89.6 91.1 99.0 155.5 89.7 94.3 114.5 228.6 89.6 90.2 94.0 127.0 89.6 89.9 92.5 124.2
0 96.5 100.0 114.7 193.2 96.4 98.1 106.6 164.4 96.5 101.7 123.2 240.3 96.5 97.2 101.3 135.6 96.4 96.8 99.9 134.4
5 103.6 107.5 123.2 205.1 103.6 105.4 114.5 174.1 103.6 109.4 132.3 253.2 103.6 104.4 108.9 144.9 103.5 104.0 107.7 144.9
10 111.1 115.4 132.1 217.7 111.0 113.1 122.9 184.6 111.1 117.5 141.8 267.1 111.1 112.0 116.9 154.7 111.0 111.6 115.8 155.9

Таблица 5

Допускаемые скорости движения грузовых поездов
(динамический шаг дифференцирования по формуле (14))

Тип торможения ic, кгс/т Допускаемая скорость движения поезда Vн, км/ч
(в скобках – количество шагов для достижения Vн)
метод Ческино метод Кутты-Мерсона метод Дормана-Принса
I ступень
(тр = 0.3)
-10 39.8 (18) 39.9 (14) 39.7 (12)
-5 51.3 (19) 51.2 (14) 51.1 (12)
0 61.4 (20) 61.5 (15) 61.2 (13)
5 70.8 (21) 70.7 (15) 70.6 (13)
10 79.8 (22) 79.9 (16) 79.5 (14)
II ступень
(тр = 0.5)
-10 57.3 (21) 57.4 (15) 57.2 (13)
-5 66.0 (22) 65.9 (16) 65.7 (14)
0 74.2 (22) 74.1 (16) 73.9 (14)
5 82.3 (23) 82.4 (16) 82.2 (14)
10 90.5 (23) 90.4 (17) 90.1 (15)
III ступень
(тр = 0.7)
-10 69.4 (23) 69.4 (17) 69.2 (14)
-5 76.8 (23) 76.8 (17) 76.6 (15)
0 84.2 (24) 84.1 (17) 83.9 (15)
5 91.7 (24) 91.7 (17) 91.4 (15)
10 99.4 (25) 99.4 (18) 99.3 (16)
экстренное
(тр = 1)
-10 82.9 (24) 82.9 (18) 82.8 (15)
-5 89.5 (25) 89.4 (18) 89.3 (16)
0 96.4 (25) 96.3 (18) 96.0 (16)
5 103.5 (26) 103.5 (18) 103.1 (16)
10 110.9 (26) 110.9 (19) 110.8 (16)

Минимальное количество шагов, приводящих к определению Vн, равно 12 (метод Дормана-Принса), что равносильно вычислительной сложности расчетов с фиксированным шагом 100 м. Максимальное количество шагов равно 26 (метод Ческино), что равносильно вычислительной сложности расчетов с фиксированным шагом 50 м.

Учитывая специфику задачи, была подобрана эмпирическая формула для выбора динамического шага интегрирования

,     (15)

где Vi – скорость в начале шага;
a(Vi) – ускорение движения поезда в начале шага.

 

Результаты расчетов с использованием динамического шага, рассчитанного по формуле (15), приведены в табл. 6.

Таблица 6

Допускаемые скорости движения грузовых поездов
(динамический шаг дифференцирования по формуле (15))

Тип торможения ic, кгс/т Допускаемая скорость движения поезда Vн, км/ч
(в скобках – количество шагов для достижения Vн)
классический метод Рунге-Кутты модифицированный метод Рунге-Кутты метод Ческино метод Кутты-Мерсона метод Дормана-Принса
I ступень
(тр = 0.3)
-10 39.9 (6) 39.9 (6) 39.9 (6) 40.0 (6) 39.6 (7)
-5 51.3 (7) 51.3 (7) 51.4 (7) 51.4 (7) 51.1 (7)
0 61.5 (8) 61.5 (8) 61.5 (8) 61.6 (8) 61.3 (8)
5 70.9 (9) 70.9 (9) 70.9 (9) 71.0 (9) 70.7 (9)
10 79.9 (9) 79.8 (9) 79.9 (9) 79.9 (9) 79.6 (9)
II ступень
(тр = 0.5)
-10 57.4 (8) 57.4 (8) 57.5 (8) 57.5 (8) 57.1 (8)
-5 66.0 (9) 66.0 (9) 66.1 (9) 66.2 (9) 65.8 (9)
0 74.3 (9) 74.3 (9) 74.3 (9) 74.4 (9) 74.0 (9)
5 82.4 (10) 82.4 (10) 82.5 (10) 82.5 (10) 82.2 (10)
10 90.5 (10) 90.5 (10) 90.6 (10) 90.6 (10) 90.3 (10)
III ступень
(тр = 0.7)
-10 69.4 (9) 69.4 (9) 69.5 (9) 69.5 (9) 69.2 (9)
-5 76.8 (9) 76.8 (9) 76.9 (9) 76.9 (9) 76.5 (9)
0 84.3 (10) 84.3 (10) 84.3 (10) 84.4 (10) 84.1 (10)
5 91.8 (10) 91.8 (10) 91.8 (10) 91.9 (10) 91.5 (10)
10 99.5 (11) 99.5 (11) 99.6 (11) 99.6 (11) 99.3 (11)
экстренное
(тр = 1)
-10 83.0 (10) 83.0 (10) 83.0 (10) 83.1 (10) 82.7 (10)
-5 89.6 (10) 89.5 (10) 89.6 (10) 89.7 (10) 89.3 (10)
0 96.4 (11) 96.4 (11) 96.4 (10) 96.5 (10) 96.2 (11)
5 103.5 (11) 103.5 (11) 103.6 (11) 103.6 (11) 103.3 (11)
10 111.0 (11) 111.0 (11) 111.0 (11) 111.1 (11) 110.7 (11)

По результатам расчета допускаемых скоростей можно сделать следующие выводы.

1. При использовании фиксированного шага дифференцирования (табл.4) для различных методов оптимальной является величина 10-30 м, в отдельных случаях (например, при движении на спусках или на III ступени торможения) – 50 м. При большем шаге большая часть погрешности накапливается при низких скоростях движения.

2. Применение динамического шага дифференцирования по формуле Холла (табл. 5) позволяет при незначительной погрешности (максимум 0.1 – 0.3 км/ч) существенно сократить объем вычислений. Средний шаг дифференцирования в зависимости от метода равен 50 – 100 м.

3. Эмпирическая формула (15) по сравнению с формулой Холла позволяет не только уменьшить объем вычислений еще минимум в 1.5 раза (средний шаг дифференцирования равен 100 – 200 м), но использовать ее с методами Рунге-Кутты, в которых отсутствует контроль погрешности с помощью вложенных формул.

4. Решение второй тормозной задачи возможно дифференцированием уравнение (9) по скорости (при незначительной модификации предложенной методики). Приемлемая погрешность (максимум 0.1 – 0.3 км/ч) достигается при фиксированном шаге дифференцирования 10 км/ч, что эквивалентно объему вычислений значений табл.6.

Общие выводы по применению методов Рунге-Кутты для решения тормозных задач.

1. Наилучшие результаты решения уравнения (9) достигаются при дифференцировании с фиксированным шагом по скорости или динамическим шагом по пути.

2. Предложенный подход, при определенной модификации методик, позволяет учесть:

- непрерывное изменение средневзвешенного уклона под поездом и сопротивления от кривизны пути по формулам (46) - (50) ПТР;

- постепенное наполнение тормозных цилиндров (нарастание тормозной силы) в начале торможения.

Методы Рунге-Кутты могут быть применены не только для решения тормозных задач, но и при построении кривой скорости движения поезда по участку пути.

 

Литература.

1. Правила тяговых расчетов для поездной работы. – М.: Транспорт, 1985. - 287 с.

2. Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. - 685 с.