начальный уровень

Что такое степень числа?

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

2+2+2+2+2+2+2+2=16

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: 2⋅8=16

2⋅8=16. Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, 2⋅8=162⋅8=16 считается легче и быстрее, чем 2+2+2+2+2+2+2+2=162+2+2+2+2+2+2+2=16.

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. Круто, да?

Вот таблица умножения. Повторяй.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

Возведение числа в степень.

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, 2⋅2⋅2⋅2⋅2=25

2⋅2⋅2⋅2⋅2=25. Математики помнят, что два в пятой степени – это 32

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Пример №1

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне 8

клеток и по другой тоже 8. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной 8, то можно возвести восемь в квадрат. Получится 64 клетки. (8⋅8=8²=64 ) Так?

Пример №2.

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером

3 на 3 метра и глубиной 3 метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен 3⋅3⋅3=27 кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты 27 раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно 27. Записывается это так: 3³=27.

Термины и понятия.

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием «a» и показателем «b » читается как «a » в степени «b» и записывается следующим образом:

«Степень числа с натуральным показателем»

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число 0.

Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне −100 рублей, это значит, что ты должен оператору 100 рублей.

Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число 3,141592...

Подытожим:

Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть 1, 2, 3, 4 и т.д.

Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0.
Рациональными считаются дробные числа.
Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

Любое число в первой степени равно самому себе: a¹=a
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: a²= a*a
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: a³= a*a*a

Определение. Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя n раз:

aⁿ= a*a*a*a…

Примеры:

1. 5¹=5

2. 4³= 4*4*4=16*4=64

3. 2⁶ = 2*2*2*2*2*2 = 64

Но по определению это степень числа a с показателем n+m, то есть: aⁿ * a^m = a^n+m что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение 5⁴ * 5⁷*5⁹ .

Решение: 5⁴ * 5⁷*5^{9 =}5⁴⁺⁷⁺⁹=5²⁰

Пример: Упростите выражение 3^{5 *}3^{8 *} 5⁷

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием 3 мы объединяем, а 5⁷ остается отдельным множителем: 3⁵⁺⁸ *5⁷ = 3¹³* 5⁷

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что 2⁴ + 2⁶=2¹⁰

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже 0. Давайте подумаем, какие знаки («+» или «−») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел? Например, положительным или отрицательным будет число

3⁵ ? (3⁵)?(-3)⁴?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным. Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть (−3)⋅(−3)=+9 или (-3)² = 9 Но если мы 9 умножим на (−3), получится −27. И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
Положительное число в любой степени – число положительное.
Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

Справился? Вот ответы

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно 0? Очевидно нет, так как 2≠√5 (потому что 2=√4).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: √5 или 3? Если вспомнить, что 3=√9, становится ясно, что √5<3, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.

Вычисли значения выражений:

Решение:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком «−−») и число 0

Если показателем степени является целое положительное число, а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного 0.

Любое число в нулевой степени равно единице:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число 0

(в качестве основания).

С одной стороны, 0 в любой степени должен равняться 0 – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, 0⁰, как и любое число в нулевой степени, должен равняться 1

Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа 0 к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Решение

Степень с рациональным показателем

Итак, если:

a >0
a >0;
n — натуральное число;
m — целое число;