Корни

А почему же число a должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен √-9? Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: 32=9, а не −9. Может, (−3)? Опять же, проверяем: (−3)2=9. Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a ». А в самом начале мы разбирали пример X²=4, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом 4, ответом были 2 и −2, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, X²=4 не равносильно выражению x=√4

Из X²=4 следует, что

|x|=√4 , то есть x =±√4 = ±2 или X₁ =2; X₂= −2

А из x =√4 следует, что x =2.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как 2, так и x=−2.

А теперь попробуй решить такое уравнение X²=3. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: 0²=0 – не подходит, двигаемся дальше x=1; 1²=1 – меньше трех, тоже отметаем, а что если x=2?

Проверим: 2²= 4 – тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между 1 и 2, а также между −2 и −1. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции y=X² и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из 3, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что

√3 =1,732050807568… Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. √3 и -√3 уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной

1 км, сколько км тебе предстоит пройти?