Методы решения геометрических задач

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других - алгебраическим.

Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.

Метод дополнительного построения

Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на котором изображено только условие) трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.

Метод подобия

Подобие треугольников

Две фигуры F и F1 называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.

Признаки подобия треугольников:

1)    Если два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2)    Если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами равны;

3)    Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.




                                                                                                                                                                                                                      Метод замены

Метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.

   Метод введения вспомогательного неизвестного

Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи составляют уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных аргументов удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.

 Метод площадей

В математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для нее выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем синус какого-либо угла α, то при помощи соотношения  из полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное.


Метод «вспомогательных объёмов»

Для нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается в том, что объём некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из полученных равенств выражается искомая величина. Причём в этом методе нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях оказывается очень затруднительным.

Векторный метод

Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении  задач.

Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.

 



Координатный метод

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем, отличные от прямоугольных.

1.Косоугольные (аффинные) координаты.

2.Полярные координаты.

3.Цилиндрические координаты.

4.Сферические координаты.

5.Прямоугольные координаты.

Рассмотрим самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на плоскость).












Comments