Задачи на построение сечений тетраэдра

Цель:

·                   выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Уточним, что понимается под сечением тетраэдра или  параллелепипеда. Назовем секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Так как тетраэдр  имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис.1).

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники (рис.2, а), пятиугольники (рис.2, б) и шестиугольники (рис.2, в). При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные  грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. Так, на рисунке 2, б секущая плоскость  пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две другие противоположные грани (переднюю и заднюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому АВ||CD и АЕ||ВС, По той же причине на рисунке 2, в АВ||ED, AF||CD, ВС||EF. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается  провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

IV Закрепление изученного материала

Рассмотрим примеры построения сечений тетраэдра.

Задача:

На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение:

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.

V Подведение итогов

ć
Регина Цурикова,
8 июн. 2015 г., 13:08
Comments