Сечение шара плоскостью

Цели:

·                   изучить сечение шара плоскостью

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Теорема:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство:

Пусть α — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 1). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α и обозначим через О' основание этого перпендикуляра.

Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора ОХ2 = ОО'2 + О'Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О'Х ≤√R2-OO'2, т. е. любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки О' на расстоянии, не большем √R2-OO'2, следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 2), а сечение сферы — большой окружностью.

IV Закрепление изученного материала

Задача:

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет

Отношение площади этого круга к площади большого круга равно

V Подведение итогов
ć
Регина Цурикова,
8 июн. 2015 г., 13:06
Comments