Сечение конуса плоскостями

Цели:

·                   рассмотреть сечения конуса, проходящие через вершину, в том числе осевые

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 1).

В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это — сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 2).

Теорема:

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Доказательство:

Пусть β — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис. 3). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость β с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью β с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

IV Закрепление изученного материала

Задача:

Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.

Решение:

Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии

Поэтому радиус круга в сечении

Следовательно, площадь сечения

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 4).

V Подведение итогов
ć
Регина Цурикова,
8 июн. 2015 г., 13:06
Comments