Главная‎ > ‎

Тема 4. Методы построения сечений. Комбинированный метод.

Задачи:

· Сформулировать алгоритм построения сечений комбинированным методом.

Время реализации занятия: 45 минут.

Ход урока 

Суть комбинированного метода построения сечений, состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксонометрическим методом.

Приведем несколько примеров.

Пример №1


На ребрах АВ и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре МС зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение:

1. Основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости МАС. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3. Найдем точку N=AC∩BD, проведем прямую MN и найдем точку F’=KR∩MN.

4. Точка F’ является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F’.

5. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге мы получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение.

Пример№2

На ребрах ВС и МА пирамиды МАВС зададим соответственно точки P и Q, построим сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через прямую PQ параллельную прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а) На ребре МВ; б) Она совпадает с точкой В в грани МАВ.

Решение:

а)

1. Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, - это плоскость MAB.

2. В плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QF, параллельную AR.

3. Пересекающиеся прямые PQ и QF определяется плоскостью α (эта плоскость PQF) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4. Точка В совпадает с точкой F'- проекцией точки F на плоскость АВС (из центра М), а точка А совпадает с точкой Q' - проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S'=FQ∩F'Q' лежит на основном следе секущей плоскости α. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S'P это основной след плоскости α на грани ABC. Далее точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырёхугольник PFQS'' - искомое сечение.


б)

1. Плоскость, проходящая через прямую АВ и точку Р прямой PQ - это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.

2. В плоскости АВС через точку Р проведем прямую PD, параллельную прямой АВ.

3. Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость α (это плоскость PQD) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4. Ясно, что следом плоскости α на грани MAC является отрезок DQ.

5. Дальнейшее построение выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости MAB. Тогда плоскость α, проходящая через прямую PD пересекает плоскость MAB по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой AB. В плоскости MAB через точку Q проведём прямую QE, параллельную AB. Отрезок QE - это след плоскости α на грани MAB.

6. Соединим точку P с точкой E. Отрезок PE - это след плоскости α на грани MBC. Таким образом, четырёхугольник PEQD - искомое сечение.


Пример № 3.

На ребрах AD и C'D' призмы ABCDA'B'C'D', зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD' зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и прямой A'B.


Решение:

1. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой A'B, сначала через прямую А' B и точку Q проведем плоскость γ. Для этого найдем точку Q' - проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую АQ'. АQ' параллельна АQ. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую 1' параллельно AQ'.Пересекающимися прямыми А'В и 1 определяется плоскость γ. В плоскости γ через точку Q проведем прямую параллельно.

2. Пересекающимися прямыми PQ и 1'', определяется плоскость β - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S'=1' пересекается 1'', а затем прямую PS' - основной след плоскости β. Находим далее точку S''=PS' пересекается CD и проводим прямую S''Q - след плоскости на плоскость CDD'. Получаем точку D'' - след плоскости β на прямой DD'. Точка D'' и точка P лежат в плоскости АDD'. Поэтому прямая PD'' - след плоскости β на плоскости АDD', а отрезок PF - след плоскости β на грани АDD' А'. Таким образом, сечением призмы плоскостью β является четырехугольник PS''QF.

3. Теперь строим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точку К параллельно плоскости β. Получаем четырехугольник KLN - искомое сечение.

ć
Регина Цурикова,
8 июн. 2015 г., 13:04
Comments