Главная‎ > ‎

Тема 3. Методы построения сечений. Метод следов.

Задачи:

· Сформировать понятие о методах и правилах построения сечений.

· Сформулировать алгоритм построения сечений методом следов.

Время реализации занятия: 45 минут.

Ход урока 

Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости β рассматриваемой грани. Если след построен, то отрезок PQ (рис.1), по которому он пересекается с плоскостью β, дает сторону сечения, лежащую в этой плоскости. Но еще важнее то, что каждая точка его пересечения со стороной грани или ее продолжением лежит и в плоскости другой грани; например, точка Р на рисунке лежит в боковой грани ABS пирамиды, точка Q - в плоскости грани BCS и т.д.


Поскольку эти точки, как и весь след, лежат также и в плоскости сечения, мы получаем, по крайней мере, одну точку сечения в каждой из граней.

Используя другие известные из условия или предшествующего построения точки сечения, лежащие в этих гранях, строим след в новой грани и т. д.

Этих, соображений достаточно для построения сечения пирамиды или призмы по двум точкам в плоскости основания и одной на боковой поверхности. В случае призм можно дополнительно использовать и то, что стороны сечения, лежащие в основаниях, параллельны (т.к. плоскости оснований параллельны).

Не всегда данные задачи позволяют сразу провести след в плоскости основания пирамиды или призмы. В этом случае построение следа, точнее, любых двух его точек, становится первым шагом решения. Основной элемент этого построения - нахождение точки, в которой прямая пересекает плоскость. Рассмотрим пример (рис.2), в котором требуется построить линию пересечения плоскости, проходящей через точки К, L, М, заданные на боковой поверхности призмы, с ее основанием.


Сначала строим проекции К', L', М' данных точек на плоскость основания (в данном случае взяты параллельные проекции вдоль боковых ребер призмы). Любые две из точек К, L, М лежат в одной плоскости со своими проекциями. Значит, прямая, соединяющая эти точки, пересекается с прямой, соединяющей их проекции (либо названные прямые параллельны). На рисунке 2 построены точки Р и Q пересечения прямых KL и K'L' LM и L'M'. Очевидно, что эти точки и есть точки пересечения прямых KL и LM плоскостью основания призмы, а прямая PQ - след плоскости сечения KLM на плоскости основания.

Практически так же решаются аналогичные задачи для пирамид, только вместо параллельной проекции надо рассмотреть центральную (с центром в вершине пирамиды) (рис.3).

Теперь можно сформулировать алгоритм построения сечений призм и пирамид по трем точкам.

Шаг 1. Строим проекции К', L', М' данных точек К, L, M на плоскость основания (параллельно боковым ребрам в случае призм и из вершины пирамиды как из центра проекции в случае пирамид); эту плоскость называют основной. Если какие-то из данных точек принадлежат основной плоскости, их проекцию строить не надо.

Шаг 2. Пересекая прямые (КL, LM, МК), соединяющие данные точки, с их проекциями, находим точки пересечения этих прямых с основной плоскостью. Проходящая через них прямая есть след сечения на основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя бы две ее точки

Шаг 3. Находим точки пересечения следа со сторонами основания или их продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек, которые лежат на боковой поверхности многогранника, последовательно находим вершины сечения на боковых ребрах, а в случае призмы - и на сторонах второго основания.

Пример.
 Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L и M, которые лежат на его ребрах.


Решение:

Проведем в плоскости ABD прямую KL-«след» плоскости ABD. Пусть KL∩BD=P. Проводим прямую PM, получаем точку N. Достраиваем сечение, соединяя точки M и К.

ć
Регина Цурикова,
8 июн. 2015 г., 13:04
Comments