Объем шара. Объём шарового сегмента,шарового слоя,шарового сектора

Объем шара

Теорема: 

Объём шара радиуса R равен  4/π R3

                                                              

 

Доказательство:

 Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М.Обозначим радиус этого круга через rа его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М.Выразим S(х) через х и RИз прямо­угольного треугольника ОМС находим:

Так как S(x)=πr2то S (x)= π(R2 _ x2)

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х,удовлетворяющих условию -R ≤ x ≤ R. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a= - R, b= - R, получим


Теорема доказана.


Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

Шаровой сегмент – это часть шара, которая осекается плоскостью от шара.









Шаровым сегментом на
зывается часть шара, отсе­ченная от него плоскостью . Всякая плоскость, пересекающая шар, разби­вает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рас­суждений из , стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. 
Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии h=R-x от верхней точки полушара.  Искомый объем будет равен раз­ности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен h=R-x, то получаем для                                                                   объема сегмента
                                                                               

 

 Шаровой слой. Объём шарового слоя.

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.



Шаровой сектор. Объём шарового сектора.

 Шаровой сектор – это часть сферы или шара, которая ограничена кривой поверхностью шарового сегмента и поверхностью конической. Вершиной в данном случае будет служить центр шара, основанием сегмента является та самая коническая поверхность. Чтобы стало более понятно, посмотрите на рисунок.

 Объем шарового сектора можно найти по формуле:  

   


   

       
       Где h – это высота сегмента, а r- радиус шара.

                                                                                           






Comments