1.9.2 Угловая и линейная скорости вращения

Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один частный случай движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4).
линейная скорость вращения
В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость. Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время A19-9.jpg разные пути. Так, A19-10.jpg, поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5). Но радиусы окружностей поворачиваются за время A19-9.jpg на один и тот же угол A19-11.jpg. Угол A19-12.jpg - угол между осью ОХ и радиус-вектором A19-13.jpg, определяющим положение точки А (см. рис.2.5).
линейная скорость вращения
Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью. Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол A19-14.jpg, а другое - на угол A19-15.jpg, то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела A19-11.jpg к промежутку времени A19-9.jpg, за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению
A19-1.jpg
Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с1.
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения, т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает A19-16.jpg (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно A19-17.jpg секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T. Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:
A19-2.jpg
Полному обороту тела соответствует угол A19-18.jpg. Поэтому согласно формуле (2.1)
линейная скорость вращения
Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени A19-19.jpg угол поворота A19-20.jpg, то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:
A19-4.jpg
Если A19-21.jpg, то A19-22.jpg, или A19-23.jpg.
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь A19-24.jpg. Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:
A19-5.jpg
Так как A19-25.jpg, то
A19-6.jpg
Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Для точек земного экватора A19-26.jpg, а для точек на широте Санкт-Петербурга A19-27.jpg. На полюсах Земли A19-28.jpg.
Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:
A19-7.jpg
Следовательно,
A19-8.jpg
Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет.
Итак, мы научились полностью описывать движение абсолютно твердого тела, вращающегося равномерно вокруг неподвижной оси, так как, пользуясь формулами A19-28.jpg, можем находить положение, модули скорости и ускорения любой точки тела в произвольный момент времени. Знаем мы и направления A19-30.jpg и A19-31.jpg, a также форму траекторий точек.




Comments