Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ax^2 + 2kx + c = 0, то есть при чётном b, где k=\frac{1}{2}b
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

x_{1, 2}=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}=
=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm\sqrt{4(k^2-ac)}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=
=\frac{2(-k\pm\sqrt{k^2-ac})}{2a}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}.

Также при чётном b удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

\frac{D}{4}=\frac{(2k)^2-4ac}{4}=\frac{4(k^2-ac)}{4}=k^2-ac

или, если уравнение приведённое:

\frac{D}{4}=k^2-c.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

\frac{D}{4}>0 \Rightarrow D>0

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при D=0:

x=\frac{-2k}{2a}=\frac{-k}{a}.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

x=-k.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном b.
Comments