II) Où
trouver du chaos ?
Après Lorenz,
beaucoup d'études ont démontré l'existence de
diverses sources de chaos. Un très grand nombre de recherches
actuelles sur le chaos, essaient soit d'exploiter les sources déjà
trouvées, soit explorent d'autres sources pas encore
maîtrisées. Dans la suite, une classification des
sources du chaos est proposée. Des exemples de chaque classe
sont donnés, avec une brève explication.
II-1) Fonctions
mathématiques comme source du chaos
Cette classe qui
était associée depuis pas très longtemps avec le
mot « curiosité »
est la classe la plus explorée à cause de la facilité
relative d'étude, et la clarté des notions utilisées.
En fait, la plupart des méthodes de manipulation du chaos sont
appliquées et testées sur ces classes avant de passer
aux autres. De ce fait, ils sont présentés comme source
de chaos de référence dans beaucoup d'études.
Nous avons déjà vu l'exemple de la famille de fonctions
quadratiques. Il existe beaucoup d'autres exemples similaires
(fonction de Henon, fonction logistique... etc.) qui sont
principalement des familles de fonctions itératives dont
l'état chaotique dépend d'un ou plusieurs
paramètres.[MAY01]
La classe trouve son importance
dans la pratique scientifique à cause du fait que les
fonctions itératives sont à la base d'une grande part
des algorithmes numériques pour l'exploration des équations
différentielles (ex. méthode de Newton). Il faut
signaler l'importance de l'étude formelle de cette classe, par
opposition à l'étude numérique. En effet, quelle
que soit la puissance de l'ordinateur qu'on utilise, les calculs sont
approximatifs et admettent une erreur. C'est le résultat d'une
représentation binaire finie, et du remplacement de fonctions
mathématiques par leurs développements limités.
Cette réalité,
connue par tous, reste dans la plupart des cas négligée,
ce qui n'est pas grave sauf pour les systèmes chaotiques, à
cause de leur sensibilité exponentielle aux erreurs. Pour le
chaos l'augmentation de la puissance de calcul ne fait que retarder
l'inévitable. Ce problème est l'objet de plusieurs
études intéressantes en cours de réalisation, et
qui sont principalement basées sur le modèle du
« calculateur réel »
ou « machine
de Blum - Shub - Smale »
[BLU01].
Par exemple pour
la fonction logistique xt+1=k
xt
(1-xt)
pour k=3.8 et
une condition initiale x0=0.4,
sur papier l'itération suivante donne x1=0.912.
L'ordinateur (sous Scilab avec un Pentium DualCore) par contre donne
le résultat suivant : x=0.91199999999999992.
Finalement,
pour une liste exhaustive de fonctions
non linéaires connues pouvant générer du chaos
voir [WIL02].
II-2) Systèmes
dynamiques chaotiques à modèle connu
Dans
la référence [WIL02]
on
trouve une répartition de cette classe en deux familles de
systèmes :
Les
systèmes dissipatifs : où on trouve les
phénomènes de bifurcation, d'intermittence et
d'attracteur étrange.
Les
systèmes conservatifs : où on trouve les systèmes
classiques (ex. : système mécanique à
trois corps, système de Poincaré) et les systèmes
quantiques (chaos quantique).
Cette classe de systèmes
est largement connue ; car on y trouve le fameux système
climatologique de Lorenz et d'autres qui sont à l'origine de
la théorie moderne du chaos.
Exemples :
(sys.II.1)
(sys.II.2)
Où α, β,
m0, m1 et E
sont des paramètres et h(x) une fonction non linéaire
de x.
II-3) Systèmes
dynamiques chaotiques sans modèle
C'est la classe la plus
intéressante, car c'est pour ce type de système que la
détection du chaos offre un grand potentiel. Dans ce cas, le
système est une boite noire, qui génère des
grandeurs mesurables sous forme de séries temporelles à
sa sortie. Alors logiquement pour qu'on ait recours à la
détection du chaos, c'est que ces variables de sortie ont un
aspect aléatoire. Ainsi, pouvoir prouver que ces variables
sont des signaux chaotiques est un gain considérable en soi à
cause des perspectives qui en résultent (prédictibilité,
ordre caché... etc.).
Cette
classe couvre un énorme spectre d'applications, dont
principalement la finance [CHA01],
l'économie [BAR01,SCH02,LIU01],
le biomédical [HU001,HAI01,GON01],
l'hydraulique [KHA01],
les réseaux [FAN01,NUN01],
l'écologie [RAI01]
et la liste ne cesse de s'agrandir. Par la suite, nous allons
explorer trois cas où on peut rencontrer le chaos sans avoir
le modèle proprement dit du système qui a généré
celui-ci. Le premier cas est relatif à la cryptanalyse d'un
système de communication chaotique, le deuxième est le
cœur et le troisième est le cerveau.