II) Où trouver du chaos ?

Après Lorenz, beaucoup d'études ont démontré l'existence de diverses sources de chaos. Un très grand nombre de recherches actuelles sur le chaos, essaient soit d'exploiter les sources déjà trouvées, soit explorent d'autres sources pas encore maîtrisées. Dans la suite, une classification des sources du chaos est proposée. Des exemples de chaque classe sont donnés, avec une brève explication.

II-1) Fonctions mathématiques comme source du chaos

Cette classe qui était associée depuis pas très longtemps avec le mot « curiosité » est la classe la plus explorée à cause de la facilité relative d'étude, et la clarté des notions utilisées. En fait, la plupart des méthodes de manipulation du chaos sont appliquées et testées sur ces classes avant de passer aux autres. De ce fait, ils sont présentés comme source de chaos de référence dans beaucoup d'études. Nous avons déjà vu l'exemple de la famille de fonctions quadratiques. Il existe beaucoup d'autres exemples similaires (fonction de Henon, fonction logistique... etc.) qui sont principalement des familles de fonctions itératives dont l'état chaotique dépend d'un ou plusieurs paramètres.[MAY01]

La classe trouve son importance dans la pratique scientifique à cause du fait que les fonctions itératives sont à la base d'une grande part des algorithmes numériques pour l'exploration des équations différentielles (ex. méthode de Newton). Il faut signaler l'importance de l'étude formelle de cette classe, par opposition à l'étude numérique. En effet, quelle que soit la puissance de l'ordinateur qu'on utilise, les calculs sont approximatifs et admettent une erreur. C'est le résultat d'une représentation binaire finie, et du remplacement de fonctions mathématiques par leurs développements limités.

Cette réalité, connue par tous, reste dans la plupart des cas négligée, ce qui n'est pas grave sauf pour les systèmes chaotiques, à cause de leur sensibilité exponentielle aux erreurs. Pour le chaos l'augmentation de la puissance de calcul ne fait que retarder l'inévitable. Ce problème est l'objet de plusieurs études intéressantes en cours de réalisation, et qui sont principalement basées sur le modèle du « calculateur réel » ou « machine de Blum - Shub - Smale » [BLU01].

Par exemple pour la fonction logistique xt+1=k xt (1-xt) pour k=3.8 et une condition initiale x0=0.4, sur papier l'itération suivante donne x1=0.912. L'ordinateur (sous Scilab avec un Pentium DualCore) par contre donne le résultat suivant : x=0.91199999999999992.

Finalement, pour une liste exhaustive de fonctions non linéaires connues pouvant générer du chaos voir [WIL02].

II-2) Systèmes dynamiques chaotiques à modèle connu

Dans la référence [WIL02] on trouve une répartition de cette classe en deux familles de systèmes :

  • Les systèmes dissipatifs : où on trouve les phénomènes de bifurcation, d'intermittence et d'attracteur étrange.

  • Les systèmes conservatifs : où on trouve les systèmes classiques (ex. : système mécanique à trois corps, système de Poincaré) et les systèmes quantiques (chaos quantique).

Cette classe de systèmes est largement connue ; car on y trouve le fameux système climatologique de Lorenz et d'autres qui sont à l'origine de la théorie moderne du chaos.

Exemples :

  • Système de Lorenz (voir sys.I.2) qui va être l'objet d'exploration dans la section IV.2.1

  • Système de Rössler (1979):

(sys.II.1)

  • Système chaotique de Chua.

(sys.II.2)

α, β, m0, m1 et E sont des paramètres et h(x) une fonction non linéaire de x.


II-3) Systèmes dynamiques chaotiques sans modèle

C'est la classe la plus intéressante, car c'est pour ce type de système que la détection du chaos offre un grand potentiel. Dans ce cas, le système est une boite noire, qui génère des grandeurs mesurables sous forme de séries temporelles à sa sortie. Alors logiquement pour qu'on ait recours à la détection du chaos, c'est que ces variables de sortie ont un aspect aléatoire. Ainsi, pouvoir prouver que ces variables sont des signaux chaotiques est un gain considérable en soi à cause des perspectives qui en résultent (prédictibilité, ordre caché... etc.).

Cette classe couvre un énorme spectre d'applications, dont principalement la finance [CHA01], l'économie [BAR01,SCH02,LIU01], le biomédical [HU001,HAI01,GON01], l'hydraulique [KHA01], les réseaux [FAN01,NUN01], l'écologie [RAI01] et la liste ne cesse de s'agrandir. Par la suite, nous allons explorer trois cas où on peut rencontrer le chaos sans avoir le modèle proprement dit du système qui a généré celui-ci. Le premier cas est relatif à la cryptanalyse d'un système de communication chaotique, le deuxième est le cœur et le troisième est le cerveau.