Méthodologie

                Dans cette section nous présentons un genre de mode d'emploi des méthodes déjà traitées. Mais, l'idée principale de la quelle est née ce mode d'emploi était la classification des méthodes suivant la nature du système ou série testée, d'où le choix du titre. La classification pouvait être plus sélective, mais avec beaucoup de nuance, ainsi nous avons choisi de garder deux classes: les méthodes appliquées aux modèles dynamiques et celles appliquées aux séries temporelles.

Test d'un modèle

Dans ce cas un modèle mathématique d'un système dynamique est suspecté d'avoir un comportement chaotique. La majorité des méthodes de détection du chaos sont applicables, mais on se retrouve face à un paradoxe. En effet, l'on est tenté de simuler le système testé, et ensuite d'examiner le résultat. Mais, sachant l'intolérance du chaos face aux erreurs d'approximation, avoir un doute sur la relativité des résultats numériques au système formel est justifiable. Dans ce cas on peut rester optimiste en se référant aux théorèmes qui stipulent que sous certaines conditions, les deux systèmes (formel et numérique) ont les mêmes caractéristiques géométriques (exposant de Lyapunov, dimensions...).

Reste-t-il que d'un point de vue mathématique précis, on manquera toujours de l'argument irréfutable. Un exemple intéressant serait le modèle climatique de Lorentz et son fameux attracteur étrange (l'année 1963), car contrairement aux idées répandues, la démonstration mathématique de son existence n'a été formulée qu'en 1998 par Warwick Tucker [TUC01].

Examiner le chaos dans un modèle donne l'avantage de pouvoir au préalable suggérer deux hypothèses sans besoin de démonstration , à savoir le déterminisme et la stationnarité. Pour le déterminisme cela va de soi, et pour la stationnarité il suffit de dépasser la période transitoire.



Ainsi, les méthodes qui peuvent appartenir à cette classe sont:

  • La Construction de l’espace de phase par simulation puis

    • Inspection visuelle

    • calcul des dimensions topologiques

    • Section de Poincaré

    • Calcul des exposants de Lyapunov (ou ses variations)

    • Calcul de l'entropie

    • Détection des périodes instables

  • Analyse fréquentielle

  • Vérification de l'existence de période 3 pour les systèmes discrets unidimensionnels

  • Détermination d'un Homéomorphisme entre le système testé et un autre système déjà prouvé chaotique.

Test d'une Série temporelle

Dans cette classe l'intérêt de la détection du chaos est majeur, et cet intérêt se renforce avec les avances réalisées dans la prédiction, la synchronisation et le contrôle des systèmes chaotiques.

Avec cet intérêt viennent de grandes difficultés et un potentiel élevé de mal-interprétation. En effet, dans la plupart des cas et avant d'appliquer la détection du chaos il faut poser une hypothèse généralement déficille à vérifier, à savoir la stationnarité de la série testée. Dans ce cas malgré le manque de modèle exact de l'origine de la série, un modèle approximatif ou une idée sur le système original peuvent apporter une grande aide.


Dans le cas contraire, où le système orignal est complètement inconnu, on est obligé de se fier aux résultats de l'une des méthodes de test de la stationnarité. Ces dernières sont basées essentiellement sur le calcule de l'auto corrélation temporelle et spatiotemporelle. Une de ces méthodes est utilisée dans l'exemple 4-8 du chapitre IV.

Une fois cette étape passée, la détection du chaos peut commencer avec une simple visualisation de la série temporelle.

Cette visualisation, avec la connaissance disponible du système originale va pousser le test vers l'une des deux directions:

  • Discrimination entre nature déterministe et stochastique.

  • Discrimination entre linéaire et non linéaire.

En effet, soit la série donne l'aspect d'être aléatoire sans preuve du contraire et la première direction est ainsi choisie. Soit, on sait (ou croit) que la série est déterministe et la deuxième direction est choisie.

Généralement les recherches commencent suivant la première direction et si jamais la série se montre déterministe en plus d'un avancement dans la compréhension du système originale, la problématique décale vers la deuxième direction.


Dans la première direction, les méthodes généralement employées sont:

  • Reconstruction de l’espace de phase par les variables à retard puis

    • Inspection visuelle.

    • Estimation des dimensions topologiques

    • Section de Poincaré

    • Horizon de prédictibilité (linéaire et non linéaire)

    • Les faux voisins plus proches

  • Séries temporelles de substitution régénérées par des méthodes stochastiques.

  • La première partie de la méthode DVV


Dans la deuxième direction la discrimination entre linéaire et non linéaire est généralement accompagnée ou suivie par la discrimination entre comportement périodique (cycle limite, tore) et comportement chaotique.

Les méthodes susceptibles d'être utilisées sont :

  • Reconstruction de l’espace de phase par les variables à retard puis

    • Inspection visuelle

    • Estimation des dimensions topologiques

    • Section de Poincaré

    • Estimation des exposants de Lyapunov (ou ses variations)

    • Estimation de l'entropie

    • Horizon de prédictibilité (linéaire et non linéaire)

  • Séries temporelles de substitution régénérées par des méthodes linéaires ou non linéaires ( ex. La deuxième partie de la méthode DVV)

  • Test 0-1 du chaos.

Le lecteur peut constater que plusieurs méthodes figurent simultanément dans les deux classes, ce qui s'explique par une différence soit dans l'étape préliminaire (Calcul direct de l'attracteur ou reconstruction) soit dans l'interprétation des résultats.