1. Решить уравнение cos2x = 1/2. Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем: 2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z). Откуда x = ±π/6 + πn. Ответ: x = ±π/6 + πn. 2. Решить уравнение sin(3 - 2x) = -1/2. Используем формулу из методов решений, имеем: 3 - 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z). Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n - πn/2. Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n - πn/2. 3. Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.
Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin2a) и получим: 1 - 2sin2x - 3sinx = 2. Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид: 2y2 + 3y + 1 = 0. Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2. Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2. Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z). Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm. 4. Решить уравнение 2tgx - 3ctgx = 1. Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение 2tgx - 3/tgx = 1 или 2tg2x - tgx - 3 = 0. Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 - y - 3 = 0 относительно y. Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1. Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения: tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z. tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z. Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm. 5. Решить уравнение 3cosx - sin2x = 1 - sin3x. Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x. Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3. Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z). Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2. Ответ: x = -π/4 + πn. 6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0. Проделаем следующие преобразования (cos2x + cos6x) + cos4x = 0; 2cos4xcos2x + cos4x = 0; cos4x(2cos2x + 1) = 0. Имеем два случая: cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z). 2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z). Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm. 7. Решить уравнение cos5x = cos2x. Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов: -2sin(7x/2)sin(3x/2) = 0; sin(7x/2)sin(3x/2) = 0; Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0. Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z). Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z). Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3. 8. Решить уравнение sin3x - 2cos2xsinx = 0. Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки: sinx(sin2x - 2cos2x) = 0. Уравнение распадается на два случая: sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z). sin2x - 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем: tg2x - 2 = 0; tg2x = 2; tgx = ±√2; x = ±arctg√2 + πm. Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm 9. Решить уравнение 4sin2x - 3sinxcosx + 5cos2x = 3. Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым: sin2x - 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3; sin2x - 3sinxcosx + 2cos2x = 0. А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно). 1 - 3ctgx + 2ctg2x = 0; 2ctg2x - 3ctgx + 1 = 0. Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t: 2t2 - 3t + 1 = 0. Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2. Возвращаемся к неизвестному x и получаем из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z); из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z). Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm. 10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2. Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид: 2t/(1 + t2) + t = 2; t3 - 2t2 + 3t - 2 = 0; t2(t - 1) - (t2 - 3t + 2) = 0; t2(t - 1) - (t - 2)(t - 1) = 0; (t - 1)(t2 - t + 2) = 0; Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем: tg(x/2) = 1, откуда x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. Ответ: x = π/2 + 2πn. 11. Решить уравнение 4sinx - 3cosx = 3. Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу. Замена же приводит к следующему уравнению: 4· 2y 1 + y2 - 3· 1 - y2 1 + y2 = 3. Делая преобразования получаем 8y = 6; y = 3/4. Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда x = 2arctg(3/4) + 2πn (n ∈ Z). Ответ: x = 2arctg(3/4) + 2πn или x = π + 2πn. 12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1. Используем формулу произведения синуса и косинуса: (sin(3x + 8x) + sin(3x - 8x))/2 = 1; sin11x - sin5x = 2. Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1. Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z). Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z). Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е. π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5; (4n + 1)π/22 = (4m - 1)π/10; 20n = 44m - 16; 5n = 11m - 4 (n, m ∈ Z). Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z). Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z). Ответ: x = 3π/2 + 2πt. 13. Решить уравнение ctg2x = cos22x - 1. Сделаем преобразование cos22x - 1 = -sin22x и получим: ctg2x = -sin22x. Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0. Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z). Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z). Найдем общее решение: π/2 + πn = πm/2; n - 2m = 1. n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z). Откуда x = πm/2 = (1 + t)π/2 = 3π/2 + πt (t ∈ Z). Ответ: x = 3π/2 + πt. 14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1. Используем формулу произведения синуса и косинуса: (sin8x - sin2x)/2 = 1; sin8x - sin2x = 2. Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1. Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*). Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**). Найдем решения, удовлетворяющие оба случая: π/16 + πn/4 = -π/4 + πm; 16m - 4n = 5. Левая часть уравнения делится на 4, правая - нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет. Ответ: Решений нет. |