Задачи с решением

1.       Решить уравнение cos2x = 1/2.

Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:

2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n Z).

Откуда x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = ±π/6 + πn.

2.       Решить уравнение sin(3 - 2x) = -1/2.

Используем формулу из методов решений, имеем:

3 - 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n Z).

Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n - πn/2.

Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n - πn/2.

3.       Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.

 

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin2a) и получим:

1 - 2sin2x - 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

2y2 + 3y + 1 = 0.

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

4.       Решить уравнение 2tgx - 3ctgx = 1.

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n Z) получаем уравнение

2tgx - 3/tgx = 1 или 2tg2x - tgx - 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 - y - 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

5.       Решить уравнение 3cosx - sin2x = 1 - sin3x.

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n Z).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.

6.       Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos4x(2cos2x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n Z).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.

7.       Решить уравнение cos5x = cos2x.

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

-2sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n Z).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

8.       Решить уравнение sin3x - 2cos2xsinx = 0.

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin2x - 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (n Z).

sin2x - 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:

tg2x - 2 = 0;

tg2x = 2;

tgx = ±√2;

x = ±arctg√2 + πm.

Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm

9.       Решить уравнение 4sin2x - 3sinxcosx + 5cos2x = 3.

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin2x - 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;

sin2x - 3sinxcosx + 2cos2x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 - 3ctgx + 2ctg2x = 0;

2ctg2x - 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

2t2 - 3t + 1 = 0.

Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n Z);

из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m Z).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.

10.   Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

Заметим, что числа π + 2πn (n Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

2t/(1 + t2) + t = 2;

t3 - 2t2 + 3t - 2 = 0;

t2(t - 1) - (t2 - 3t + 2) = 0;

t2(t - 1) - (t - 2)(t - 1) = 0;

(t - 1)(t2 - t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

tg(x/2) = 1, откуда

x = π/2 + 2πn, n Z.

Ответ: x = π/2 + 2πn.

11.   Решить уравнение 4sinx - 3cosx = 3.

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

4· 2y

1 + y2 - 3· 1 - y2

1 + y2    = 3.

Делая преобразования получаем 8y = 6;

y = 3/4.

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2πn (n Z).

Ответ: x = 2arctg(3/4) + 2πn или x = π + 2πn.

12.   Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x - 8x))/2 = 1;

sin11x - sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n Z).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m Z).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m - 1)π/10;

20n = 44m - 16;

5n = 11m - 4 (n, m Z).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m Z).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t Z).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.

13.   Решить уравнение ctg2x = cos22x - 1.

Сделаем преобразование cos22x - 1 = -sin22x и получим:

ctg2x = -sin22x.

Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.

Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n Z).

Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m Z).

Найдем общее решение:

π/2 + πn = πm/2;

n - 2m = 1.

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t Z).

Откуда x = πm/2 = (1 + t)π/2 = 3π/2 + πt (t Z).

Ответ: x = 3π/2 + πt.

14.   Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x - sin2x)/2 = 1;

sin8x - sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n Z) (*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m Z) (**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

16m - 4n = 5.

Левая часть уравнения делится на 4, правая - нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.

Ответ: Решений нет.

Comments