Решение тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a).

sin x = a (|a| ≤ 1)      x = (-1)n arcsin a + πn, n Z.

cos x = a (|a| ≤ 1)      x = ± arccos a + 2πn, n Z.

tg x = a (a R)      x = arctg a + πn, n Z.

ctg x = a (a R)      x = arcctg a + πn, n Z.

2. Способ замены.

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a(sin x + cos x) + b sin 2x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t. Тогда 1 + sin 2x = t2, а уравнение после замены приобретает вид

at + b(t2 - 1) = c.

3. Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа - ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4. Однородные тригонометрические уравнения вида

a0(cos x)n + a1(cos x)n - 1sin x + ... + an - 1cos x(sin x)n - 1 + an(sin x)n = 0, n N, a0 ≠ 0.

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x)n ≠ 0 (т.к. sin x, cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

a0zn + a1zn - 1 + ... + an - 1z + an = 0, n N, a0 ≠ 0.

5. Универсальная замена.

При решении некоторых уравнений (например, asinx + bcosx = c, a, b, c R) имеет смысл использовать замену tg x/2 = z. После чего sin x = 2z/(1 + z2), cos x = (1 - z2)/(1 + z2), tg x = 2z/(1 - z2). Так как tg x/2 не определен при x = π + 2πn, n Z, то эта подстановка может привести к потери корней. Потому необходимо проверять, не являются ли числа вида x = π + 2πn, n Z корнями исходного уравнения.