Razonamiento Matemático - Explicación
Instrucciones
Los siguientes ejemplos presentan problemas similares a los usados en la sección de Matemática, así como el procedimiento para resolverlos y su grado de dificultad.
La resolución de los ítems de Matemática que se aplican en la PAA requiere de:
1. La originalidad, la capacidad y la destreza para pensar independientemente.
2. La habilidad para aplicar conocimientos elementales y mecanismos de solución a situaciones novedosas.
3. La facilidad para generar estrategias novedosas de resolución de problemas.
4. La capacidad para inferir significados a partir de una información dada.
5. La habilidad para distinguir el orden y las relaciones entre hechos, conceptos oelementos.
Para resolver los ejercicios, además de la reflexión y el razonamiento, son necesarios solo algunos principios elementales de aritmética, de álgebra y geometría. Las figuras que acompañan a algunos problemas no están trazadas a escala.
Algunos ítems de Matemática requieren de una estrategia de resolución que permita encontrar la respuesta en el menor tiempo posible, por lo que no conviene resolverlos haciendo grandes desarrollos.
Ejemplo 1
En una oficina, todos los empleados trabajan la misma cantidad de horas semanales. Al hacer las anotaciones del caso, el jefe anotó 25 horas para el primer empleado, 45 horas para el segundo empleado y 50 horas para el tercer empleado, como jornada semanal. En cada anotación escribió un dígito correcto pero equivocó el otro.
Entonces, la jornada semanal de un empleado es de
A) 20 horas.
B) 24 horas.
C) 40 horas.
D) 52 horas.
E) 55 horas.
Explicación:
Si el dígito anotado correctamente fuera el 2, entonces, debería aparecer un 2 en cada anotación realizada por el jefe, lo cual no ocurre.
Lo mismo sucedería si se consideraran los dígitos 4 y 0 como correctos, por lo que estos tampoco pueden ser.
Se concluye, entonces, que el dígito 5 es el correcto en las tres anotaciones, por tanto la jornada laboral de un empleado es de 55 horas y la opción E es la correcta.
Ejemplo 2
En la figura adjunta, sucede con certeza que:
A) PQ = RS
B) PQ = QR
C) QR = QS
D) QR = 5
E) PS = 20
Explicación:
es un segmento común de los segmentos y . Entonces PQ equivale a (10 - QR) y también RS equivale a (10 - QR). Dos medidas iguales a una tercera son iguales entre sí, por lo quePQ = RS, o sea, la opción correcta es la A.
Los datos del problema no permiten garantizar que Q y R son los puntos medios de los segmentos
y respectivamente, y las opciones B, C y D solo podrían ser verdaderas en tal caso; por tanto, estas opciones deben descartarse, pues no puede afirmarse que se cumplan con certeza.
El segmento
mediría 20 únicamente si los puntos Q y R coinciden, en cuyo caso los segmentos y no tendrían parte en común. Puede afirmarse, de acuerdo con la figura, que esto no sucede, por lo que la opción E debe desecharse.
Ejemplo 3
Analice las siguientes igualdades y descubra la ley o regla que se da en ellas:
- 1 = 1
- 2 = 1 + 1
- 4 = (1 + 2) + 1
- 8 = (1 + 2 + 4) + 1
- 16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
De acuerdo con esta ley, la expresión correspondiente a 256 sería
A) (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1
B) (1 + 2 + 4 + 8 + 32 + 208) + 1
C) (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 224) + 1
D) (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 96 + 128) + 1
E) (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + 1
Explicación:
Este ejercicio presenta cinco igualdades donde se cumple que:
- Los miembros de la izquierda se pueden representar como: 20, 21, 22, 23, 24
- Los de la derecha son sumas -excepto en el primer caso- de potencias de
dos; y el último sumando es un uno.
- Observe en cada igualdad:
1 = 1 es equivalente a 20 = 1
2 = 1 + 1 es equivalente a 21 = 20 + 1
4 = (1 + 2) + 1 es equivalente a 22 = (20 + 21) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1 es equivalente a 23 = (20 + 21 + 22) + 1
16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1 es equivalente a 24 = (20 + 21 + 22 + 23) + 1
Entonces, la ley que se da en ellas es:
2n = ( 20 + 21 + 22 +... + 2n-1) + 1
Por otra parte, se tiene que 256 es igual a 28, por lo que aplicando la ley se tendría
28 = (20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27) + 1
Obsérvese que las opciones A, B, C presentan (en el último término de la suma entre
paréntesis) números distintos al que corresponde de acuerdo con la ley establecida, ya que
debería ser 128 (27 = 128), por lo que se descartan estas opciones.
La opción D, si bien cumple el hecho mencionado anteriormente, no es la correcta,
porque el quinto término de la suma -entre paréntesis- debe ser 32 (25 = 32).
La opción E, por su parte, sí cumple con la ley, por lo tanto, esta es la opción correcta.
Ejemplo 4
Cuatro muchachas van a una tienda en la cual solo hay blusas blancas y blusas rosadas. Si cada una de las muchachas compra dos blusas, ¿cuál de las siguientes opciones sucede con certeza?
A) Al menos dos de las muchachas compran una blusa blanca.
B) Al menos dos de las muchachas escogen blusas del mismo color.
C) Las cuatro muchachas compran una blusa blanca y otra rosada.
D) Las cuatro muchachas compran al menos una blusa blanca.
E) Cada muchacha escoge sus dos blusas en un mismo color.
Explicación:
La opción A expresa que “al menos dos de las muchachas compran una blusa blanca”, lo cual quiere decir que dos, tres o las cuatro muchachas compran (cada una) una blusa blanca. Pero esto no sucede con certeza, ya que, por ejemplo, pudo haber sucedido que todas las muchachas compraran sus dos blusas rosadas.
La opción C tampoco sucede con certeza, pues podría ocurir, por ejemplo, que las ocho blusas compradas fueran blancas.
De la opción D tampoco puede afirmarse que sucede con certeza, pues, bastaría con que una de las muchachas comprara sus dos blusas rosadas para que ya no se cumpla.
Lo que se expresa en la opción E no necesariamente ocurre, pues podría suceder que una de las muchachas escogiera una blusa blanca y la otra rosada.
Quedaría por analizar si la opción B sucede con certeza. Puesto que los colores de las blusas son blanco y rosado, y cada muchacha compra dos blusas, entonces, cada una de las muchachas podrá comprar o las dos blusas blancas, o las dos rosadas, o una blanca y la otra rosada. Son tres las escogencias posibles, pero como las muchachas son cuatro, una de ellas necesariamente repite una escogencia ya hecha. Es entonces esta la opción correcta.